Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$ ; $[- 4, - \frac{11}{3}]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{x - 1}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (- \frac{11}{3}) - f (- 4)}{(- \frac{11}{3}) - (- 4)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{1}{x - 1}$ für $f (- \frac{11}{3})$ und $f (- 4)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{1}{(- \frac{11}{3}) - 1}) - (\frac{1}{(- 4) - 1})}{(- \frac{11}{3}) - (- 4)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} - \frac{1}{- 4 - 1}}{- \frac{11}{3} - (- 4)}$ mit $\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3}$ .

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3} \cdot \frac{\frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} - \frac{1}{- 4 - 1}}{- \frac{11}{3} - (- 4)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (\frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} - \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3} - (- 4))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 \frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \frac{11}{3} - 1$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- \frac{11}{3} - 1$ aus $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ heraus.

$\frac{(- \frac{11}{3} - 1) ((- 4 - 1) \cdot 3) \frac{1}{- \frac{11}{3} - 1} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{1}{- 4 - 1})}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4 - 1$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{- 4 - 1}$ in den Zähler.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 \frac{- 1}{- 4 - 1}}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $- 4 - 1$ aus $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ heraus.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- 4 - 1) ((- \frac{11}{3} - 1) \cdot 3) \frac{- 1}{- 4 - 1}}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- 4 - 1) ((- \frac{11}{3} - 1) \cdot 3) \frac{- 1}{- 4 - 1}}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot 3 \cdot - 1}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- \frac{11}{3}) + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{11}{3}$ in den Zähler.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 \frac{- 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.3.4.2

Faktorisiere $3$ aus $(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3$ heraus.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{3 \cdot ((- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1)) \frac{- 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{3 \cdot ((- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1)) \frac{- 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 4 - 1) \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$\frac{- 5 \cdot 3 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{- 15 + (- \frac{11}{3} - 1) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 15 + (- \frac{11}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 15 + (- \frac{11}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 15 + \frac{- 11 - 1 \cdot 3}{3} \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 15 + \frac{- 11 - 3}{3} \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 11$ .

$\frac{- 15 + \frac{- 14}{3} \cdot - 3}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{- 15 + \frac{- 14}{3} \cdot (3 (- 1))}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 15 + \frac{- 14}{3} \cdot (3 \cdot - 1)}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 15 - 14 \cdot - 1}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 1$ .

$\frac{- 15 + 14}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.4.9

Addiere $- 15$ und $14$ .

$\frac{- 1}{(- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{(- \frac{11}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{(- \frac{11}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1}{\frac{- 11 - 1 \cdot 3}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 11 - 3}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.4.2

Subtrahiere $3$ von $- 11$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 14}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 1}{- \frac{14}{3} (- 4 - 1) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.6

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{14}{3} \cdot - 5 \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.7

Multipliziere $- \frac{14}{3} \cdot - 5$ .

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Schritt 3.5.7.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1}{5 (\frac{14}{3}) \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.7.2

Kombiniere $5$ und $\frac{14}{3}$ .

$\frac{- 1}{\frac{5 \cdot 14}{3} \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.7.3

Mutltipliziere $5$ mit $14$ .

$\frac{- 1}{\frac{70}{3} \cdot - 11 + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.8

Multipliziere $\frac{70}{3} \cdot - 11$ .

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Schritt 3.5.8.1

Kombiniere $\frac{70}{3}$ und $- 11$ .

$\frac{- 1}{\frac{70 \cdot - 11}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.8.2

Mutltipliziere $70$ mit $- 11$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 770}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + (- \frac{11}{3} - 1) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + (- \frac{11}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + (- \frac{11}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{- 11 - 1 \cdot 3}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{- 11 - 3}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.13.2

Subtrahiere $3$ von $- 11$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{- 14}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} - \frac{14}{3} (- 4 - 1) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.15

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} - \frac{14}{3} \cdot - 5 \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.16

Multipliziere $- \frac{14}{3} \cdot - 5$ .

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Schritt 3.5.16.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 5 (\frac{14}{3}) \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.16.2

Kombiniere $5$ und $\frac{14}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{5 \cdot 14}{3} \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.16.3

Mutltipliziere $5$ mit $14$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{70}{3} \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{70}{3} \cdot 3 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 70 (- (- 4))}$

Schritt 3.5.18

Multipliziere $70 (- (- 4))$ .

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Schritt 3.5.18.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 70 \cdot 4}$

Schritt 3.5.18.2

Mutltipliziere $70$ mit $4$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 280}$

Schritt 3.5.19

Um $280$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + 280 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.5.20

Kombiniere $280$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1}{- \frac{770}{3} + \frac{280 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.5.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1}{\frac{- 770 + 280 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.5.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.22.1

Mutltipliziere $280$ mit $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 770 + 840}{3}}$

Schritt 3.5.22.2

Addiere $- 770$ und $840$ .

$\frac{- 1}{\frac{70}{3}}$

Schritt 3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3}{70}$