Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ for $3 \leq x \leq 6$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (6) - f (3)}{(6) - (3)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ für $f (6)$ und $f (3)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{1}{6} - {(6)}^{2} - 2) - (\frac{1}{3} - {(3)}^{2} - 2)}{(6) - (3)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $6$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2)}{6 - (3)}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2)}{6 - (3)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{6 (\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 (6 - (3))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (\frac{1}{6}) + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (\frac{1}{6}) + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere $6$ mit $6^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.1

Bewege $6^{2}$ .

$\frac{1 + 6^{2} \cdot 6 \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $6^{2}$ mit $6$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Potenziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1 + 6^{2} \cdot 6^{1} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + 6^{2 + 1} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1 + 6^{3} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$\frac{1 + 216 \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $216$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - 216 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 1 \cdot 9 - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 9 - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.6

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.4.6.1

Schreibe $- 9$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9}{1} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.6.3

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.6.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.6.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.6.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 9 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 27 - 2 \cdot 3}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 27 - 6}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.9

Subtrahiere $27$ von $1$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{- 26 - 6}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.10

Subtrahiere $6$ von $- 26$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{- 32}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.11.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{- 32}{3}$ in den Zähler.

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (\frac{32}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.11.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1 - 216 - 12 + 3 (2) \frac{32}{3}}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - 216 - 12 + 3 \cdot 2 \frac{32}{3}}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.11.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 216 - 12 + 2 \cdot 32}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.12

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$\frac{1 - 216 - 12 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.13

Subtrahiere $216$ von $1$ .

$\frac{- 215 - 12 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.14

Subtrahiere $12$ von $- 215$ .

$\frac{- 227 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.4.15

Addiere $- 227$ und $64$ .

$\frac{- 163}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{- 163}{36 + 6 (- (3))}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere $6 (- (3))$ .

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 163}{36 + 6 \cdot - 3}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$\frac{- 163}{36 - 18}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $18$ von $36$ .

$\frac{- 163}{18}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{163}{18}$