Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} - 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x + h$ und $b = 1$ .

$f (x + h) = \sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$ .

$\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

$f (x) = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$f (x + h) = \sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

$f (x) = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)} - (\sqrt{(x + 1) (x - 1)})}{h}$

Schritt 4

Multipliziere $- 1$ mit $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)} - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 5