Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} - x - 1$ ; $[3, \frac{13}{4}]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{2} - x - 1$ als Gleichung.

$y = x^{2} - x - 1$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (\frac{13}{4}) - f (3)}{(\frac{13}{4}) - (3)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = x^{2} - x - 1$ für $f (\frac{13}{4})$ und $f (3)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{({(\frac{13}{4})}^{2} - (\frac{13}{4}) - 1) - ({(3)}^{2} - (3) - 1)}{(\frac{13}{4}) - (3)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $4$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{13}{4})}^{2} - \frac{13}{4} - 1 - (3^{2} - (3) - 1)}{\frac{13}{4} - (3)}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{{(\frac{13}{4})}^{2} - \frac{13}{4} - 1 - (3^{2} - (3) - 1)}{\frac{13}{4} - (3)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{4 ({(\frac{13}{4})}^{2} - \frac{13}{4} - 1 - (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4} - (3))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} + 4 (- \frac{13}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{13}{4}$ in den Zähler.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 13}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 13}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{13}{4}$ an.

$\frac{4 \frac{13^{2}}{4^{2}} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$\frac{4 \frac{13^{2}}{4 \cdot 4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \frac{13^{2}}{4 \cdot 4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{13^{2}}{4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $13$ mit $2$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (9 - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (9 - 3 - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.6

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (6 - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.7

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- 1 \cdot 5)}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.8

Multipliziere $4 (- 1 \cdot 5)$ .

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 \cdot - 5}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.9

Um $- 13$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 \cdot \frac{4}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.10

Kombiniere $- 13$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{169}{4} + \frac{- 13 \cdot 4}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{169 - 13 \cdot 4}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.12.1

Mutltipliziere $- 13$ mit $4$ .

$\frac{\frac{169 - 52}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.12.2

Subtrahiere $52$ von $169$ .

$\frac{\frac{117}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.13

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{117}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.14

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{117}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{117 - 4 \cdot 4}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.16.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{\frac{117 - 16}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.16.2

Subtrahiere $16$ von $117$ .

$\frac{\frac{101}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.17

Um $- 20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{101}{4} - 20 \cdot \frac{4}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.18

Kombiniere $- 20$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{101}{4} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{101 - 20 \cdot 4}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.20.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $4$ .

$\frac{\frac{101 - 80}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.4.20.2

Subtrahiere $80$ von $101$ .

$\frac{\frac{21}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Multipliziere $4 (- (3))$ .

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Schritt 3.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\frac{21}{4}}{13 + 4 \cdot - 3}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{\frac{21}{4}}{13 - 12}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $12$ von $13$ .

$\frac{\frac{21}{4}}{1}$

Schritt 3.6

Dividiere $\frac{21}{4}$ durch $1$ .

$\frac{21}{4}$