Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - x^{2} - x + 1$ ;, $[2, \frac{7}{3}]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - x^{2} - x + 1$ als Gleichung.

$y = - x^{2} - x + 1$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (\frac{7}{3}) - f (2)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = - x^{2} - x + 1$ für $f (\frac{7}{3})$ und $f (2)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(- {(\frac{7}{3})}^{2} - (\frac{7}{3}) + 1) - (- {(2)}^{2} - (2) + 1)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3} - (2))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{3}$ in den Zähler.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{3}$ an.

$\frac{3 (- \frac{7^{2}}{3^{2}}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7^{2}}{3^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3^{2}} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3^{2}$ heraus.

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{- 7^{2}}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$\frac{\frac{- 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 1 \cdot 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - 2 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.8

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 6 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.9

Addiere $- 6$ und $1$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- - 5)}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.10

Multipliziere $3 (- - 5)$ .

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Schritt 3.4.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 \cdot 5}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.11

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 \cdot \frac{3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.12

Kombiniere $- 7$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{49}{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 49 - 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.14.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$\frac{\frac{- 49 - 21}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.14.2

Subtrahiere $21$ von $- 49$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.15

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.16

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 70 + 3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.18.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\frac{- 70 + 9}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.18.2

Addiere $- 70$ und $9$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.19

Um $15$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.20

Kombiniere $15$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 61 + 15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.22.1

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$\frac{\frac{- 61 + 45}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.22.2

Addiere $- 61$ und $45$ .

$\frac{\frac{- 16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.4.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Multipliziere $3 (- (2))$ .

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Schritt 3.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 \cdot - 2}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 - 6}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{1}$

Schritt 3.6

Dividiere $- \frac{16}{3}$ durch $1$ .

$- \frac{16}{3}$