Elementarmathematik Beispiele

$d (t) = 0.8 t^{2}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = t + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $t + h$ .

$d (t + h) = 0.8 {(t + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe ${(t + h)}^{2}$ als $(t + h) (t + h)$ um.

$d (t + h) = 0.8 ((t + h) (t + h))$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $(t + h) (t + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$d (t + h) = 0.8 (t (t + h) + h (t + h))$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$d (t + h) = 0.8 (t \cdot t + t h + h (t + h))$

Schritt 2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$d (t + h) = 0.8 (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + t h + h t + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + t h + h t + h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $t h$ und $h t$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Stelle $t$ und $h$ um.

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + h t + h t + h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Addiere $h t$ und $h t$ .

$d (t + h) = 0.8 (t^{2} + 2 h t + h^{2})$

Schritt 2.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$d (t + h) = 0.8 t^{2} + 0.8 (2 h t) + 0.8 h^{2}$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $0.8$ .

$d (t + h) = 0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$

Schritt 2.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$ .

$0.8 t^{2} + 1.6 h t + 0.8 h^{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $0.8 t^{2}$ .

$1.6 h t + 0.8 h^{2} + 0.8 t^{2}$

Schritt 2.2.2

Stelle $1.6 h t$ und $0.8 h^{2}$ um.

$0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$d (t + h) = 0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

$d (t) = 0.8 t^{2}$

$d (t + h) = 0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2}$

$d (t) = 0.8 t^{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{d (t + h) - d t}{h} = \frac{0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2} - (0.8 t^{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $0.2$ aus $0.8 h^{2} + 1.6 h t + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Bewege $h$ .

$\frac{0.8 h^{2} + 1.6 t h + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $0.2$ aus $0.8 h^{2}$ heraus.

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 1.6 t h + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $0.2$ aus $1.6 t h$ heraus.

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.8 t^{2} - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Schritt 4.1.1.4

Faktorisiere $0.2$ aus $0.8 t^{2}$ heraus.

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) - 1 \cdot 0.8 t^{2}}{h}$

Schritt 4.1.1.5

Faktorisiere $0.2$ aus $- 1 \cdot 0.8 t^{2}$ heraus.

$\frac{0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Schritt 4.1.1.6

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 (4 h^{2}) + 0.2 (8 t h)$ heraus.

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h) + 0.2 (4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Schritt 4.1.1.7

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 (4 h^{2} + 8 t h) + 0.2 (4 t^{2})$ heraus.

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Schritt 4.1.1.8

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2}) + 0.2 (- 5 \cdot 0.8 t^{2})$ heraus.

$\frac{0.2 (4 h^{2} + 8 t h + 4 t^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $4 h^{2}$ als ${(2 h)}^{2}$ um.

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 8 t h + 4 t^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe $4 t^{2}$ als ${(2 t)}^{2}$ um.

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 8 t h + {(2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Schritt 4.1.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 t h = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 t)$

Schritt 4.1.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{0.2 ({(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 t) + {(2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Schritt 4.1.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 h$ und $b = 2 t$ .

$\frac{0.2 ({(2 h + 2 t)}^{2} - 5 \cdot 0.8 t^{2})}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe $5 \cdot 0.8 t^{2}$ als ${(2 t)}^{2}$ um.

$\frac{0.2 ({(2 h + 2 t)}^{2} - {(2 t)}^{2})}{h}$

Schritt 4.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 h + 2 t$ und $b = 2 t$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 2 t + 2 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Addiere $2 t$ und $2 t$ .

$\frac{0.2 ((2 h + 4 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 h + 4 t$ heraus.

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Schritt 4.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 h$ heraus.

$\frac{0.2 ((2 h + 4 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4 t$ heraus.

$\frac{0.2 ((2 h + 2 (2 t)) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 h + 2 (2 t)$ heraus.

$\frac{0.2 (2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - (2 t)))}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{0.2 (2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t))}{h}$

$\frac{0.2 \cdot 2 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t)}{h}$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $0.2$ mit $2$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 2 t - 2 t)}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $2 t$ von $2 t$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 0 t)}{h}$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $0$ mit $t$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) (2 h + 0)}{h}$

Schritt 4.1.9

Addiere $2 h$ und $0$ .

$\frac{0.4 (h + 2 t) \cdot 2 h}{h}$

Schritt 4.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $0.4$ .

$\frac{0.8 (h + 2 t) h}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.8 (h + 2 t) h}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $0.8 (h + 2 t)$ durch $1$ .

$0.8 (h + 2 t)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$0.8 h + 0.8 (2 t)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.8$ .

$0.8 h + 1.6 t$

Schritt 4.2.3.2

Stelle $0.8 h$ und $1.6 t$ um.

$1.6 t + 0.8 h$

Schritt 5