Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$ ; $[5, 12]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x - 3}{x}$ als Gleichung.

$y = \frac{x - 3}{x}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (12) - f (5)}{(12) - (5)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{x - 3}{x}$ für $f (12)$ und $f (5)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{(12) - 3}{12}) - (\frac{(5) - 3}{5})}{(12) - (5)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(12) - 3$ und $12$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{\frac{3 (4) - 3}{12} - (\frac{(5) - 3}{5})}{(12) - (5)}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{\frac{3 \cdot 4 + 3 \cdot - 1}{12} - (\frac{(5) - 3}{5})}{(12) - (5)}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 4 + 3 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{\frac{3 \cdot (4 - 1)}{12} - (\frac{(5) - 3}{5})}{(12) - (5)}$

Schritt 3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{\frac{3 \cdot (4 - 1)}{3 (4)} - (\frac{(5) - 3}{5})}{(12) - (5)}$

Schritt 3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{3 \cdot (4 - 1)}{3 \cdot 4} - (\frac{(5) - 3}{5})}{(12) - (5)}$

Schritt 3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4 - 1}{4} - (\frac{(5) - 3}{5})}{(12) - (5)}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $20$ .

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{4 - 1}{4} - \frac{5 - 3}{5}}{12 - (5)}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$\frac{20}{20} \cdot \frac{\frac{4 - 1}{4} - \frac{5 - 3}{5}}{12 - (5)}$

Schritt 3.2.2

Kombinieren.

$\frac{20 (\frac{4 - 1}{4} - \frac{5 - 3}{5})}{20 (12 - (5))}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20 \frac{4 - 1}{4} + 20 (- \frac{5 - 3}{5})}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.4

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{4 (5) \frac{4 - 1}{4} + 20 (- \frac{5 - 3}{5})}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 5 \frac{4 - 1}{4} + 20 (- \frac{5 - 3}{5})}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (4 - 1) + 20 (- \frac{5 - 3}{5})}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 - 3}{5}$ in den Zähler.

$\frac{5 (4 - 1) + 20 \frac{- (5 - 3)}{5}}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$\frac{5 (4 - 1) + 5 (4) \frac{- (5 - 3)}{5}}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (4 - 1) + 5 \cdot 4 \frac{- (5 - 3)}{5}}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (4 - 1) + 4 (- (5 - 3))}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{5 (4 - 1) - 4 (5 - 3)}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{5 \cdot 3 - 4 (5 - 3)}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15 - 4 (5 - 3)}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{15 - 4 \cdot 2}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{15 - 8}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.5.5

Subtrahiere $8$ von $15$ .

$\frac{7}{20 \cdot 12 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $20$ mit $12$ .

$\frac{7}{240 + 20 (- (5))}$

Schritt 3.6.2

Multipliziere $20 (- (5))$ .

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Schritt 3.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{7}{240 + 20 \cdot - 5}$

Schritt 3.6.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 5$ .

$\frac{7}{240 - 100}$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $100$ von $240$ .

$\frac{7}{140}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7$ und $140$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\frac{7 (1)}{140}$

Schritt 3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $7$ aus $140$ heraus.

$\frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 20}$

Schritt 3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 20}$

Schritt 3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{20}$