Elementarmathematik Beispiele

$y = 1200 {(0.86)}^{4 x}$

Schritt 1

Schreibe $y = 1200 {(0.86)}^{4 x}$ als Funktion.

$f (x) = 1200 {(0.86)}^{4 x}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 1200 {(0.86)}^{4 (x + h)}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h}$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h}$ .

$1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h}$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h}$

$f (x) = 1200 \cdot {0.86}^{4 x}$

$f (x + h) = 1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h}$

$f (x) = 1200 \cdot {0.86}^{4 x}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h} - (1200 \cdot {0.86}^{4 x})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1200$ .

$\frac{1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h} - 1200 \cdot {0.86}^{4 x}}{h}$

Schritt 5.2

Schreibe $1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h} - 1200 \cdot {0.86}^{4 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $1200$ aus $1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h} - 1200 \cdot {0.86}^{4 x}$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $1200$ aus $1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h}$ heraus.

$\frac{1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h} - 1200 \cdot {0.86}^{4 x}}{h}$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $1200$ aus $- 1200 \cdot {0.86}^{4 x}$ heraus.

$\frac{1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h} + 1200 (- {0.86}^{4 x})}{h}$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $1200$ aus $1200 \cdot {0.86}^{4 x + 4 h} + 1200 (- {0.86}^{4 x})$ heraus.

$\frac{1200 ({0.86}^{4 x + 4 h} - {0.86}^{4 x})}{h}$

Schritt 5.2.2

Schreibe ${0.86}^{4 x + 4 h}$ als ${({0.86}^{2 x + 2 h})}^{2}$ um.

$\frac{1200 ({({0.86}^{2 x + 2 h})}^{2} - {0.86}^{4 x})}{h}$

Schritt 5.2.3

Schreibe ${0.86}^{4 x}$ als ${({0.86}^{2 x})}^{2}$ um.

$\frac{1200 ({({0.86}^{2 x + 2 h})}^{2} - {({0.86}^{2 x})}^{2})}{h}$

Schritt 5.2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {0.86}^{2 x + 2 h}$ und $b = {0.86}^{2 x}$ .

$\frac{1200 (({0.86}^{2 x + 2 h} + {0.86}^{2 x}) ({0.86}^{2 x + 2 h} - {0.86}^{2 x}))}{h}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache.

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Schritt 5.2.5.1

Schreibe ${0.86}^{2 x + 2 h}$ als ${({0.86}^{x + h})}^{2}$ um.

$\frac{1200 (({0.86}^{2 x + 2 h} + {0.86}^{2 x}) ({({0.86}^{x + h})}^{2} - {0.86}^{2 x}))}{h}$

Schritt 5.2.5.2

Schreibe ${0.86}^{2 x}$ als ${({0.86}^{x})}^{2}$ um.

$\frac{1200 (({0.86}^{2 x + 2 h} + {0.86}^{2 x}) ({({0.86}^{x + h})}^{2} - {({0.86}^{x})}^{2}))}{h}$

Schritt 5.2.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {0.86}^{x + h}$ und $b = {0.86}^{x}$ .

$\frac{1200 (({0.86}^{2 x + 2 h} + {0.86}^{2 x}) ({0.86}^{x + h} + {0.86}^{x}) ({0.86}^{x + h} - {0.86}^{x}))}{h}$

$\frac{1200 ({0.86}^{2 x + 2 h} + {0.86}^{2 x}) ({0.86}^{x + h} + {0.86}^{x}) ({0.86}^{x + h} - {0.86}^{x})}{h}$

Schritt 6