Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 3}{x + h}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{x + h - 3}{x + h}$ .

$\frac{x + h - 3}{x + h}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 3}{x + h} - (\frac{x - 3}{x})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{x + h - 3}{x + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{x - 3}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x + h - 3}{x + h}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x - 3}{x}$ mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + h) x$ um.

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{x (x + h)} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x \cdot x + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x - - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x + 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Multipliziere $(- x + 3) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x (x + h) + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x \cdot x) - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x^{2} - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x + 0 - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Addiere $h x$ und $0$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Subtrahiere $x h$ von $h x$ .

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Schritt 4.1.5.9.1

Stelle $h$ und $x$ um.

$\frac{\frac{- 3 x + x h - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9.2

Subtrahiere $x h$ von $x h$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 0 + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Addiere $- 3 x$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{\frac{0 + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12

Addiere $0$ und $3 h$ .

$\frac{\frac{3 h}{x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $h$ aus $3 h$ heraus.

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{x (x + h)}$

Schritt 5