Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 6 e^{x}$ , $[- 3, 3]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 6 e^{x}$ als Gleichung.

$y = 6 e^{x}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (3) - f (- 3)}{(3) - (- 3)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = 6 e^{x}$ für $f (3)$ und $f (- 3)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(6 e^{3}) - (6 e^{- 3})}{(3) - (- 3)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 e^{- 3}}{3 - (- 3)}$

Schritt 3.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 \frac{1}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{6 e^{3} + \frac{- 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Schritt 3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6 e^{3} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Schritt 3.1.5

Um $6 e^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3}}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Schritt 3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Schritt 3.1.7

Multipliziere $e^{3}$ mit $e^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.7.1

Bewege $e^{3}$ .

$\frac{\frac{6 (e^{3} e^{3}) - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Schritt 3.1.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{6 e^{3 + 3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Schritt 3.1.7.3

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 + 3}$

Schritt 3.2.2

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{6}$

Schritt 3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 e^{6} - 6$ und $6$ .

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 e^{6}$ heraus.

$\frac{6 (e^{6}) - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{6 (e^{6}) + 6 \cdot - 1}{e^{3} \cdot 6}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (e^{6}) + 6 (- 1)$ heraus.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{e^{3} \cdot 6}$

Schritt 3.4.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.4.1

Faktorisiere $6$ aus $e^{3} \cdot 6$ heraus.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Schritt 3.4.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Schritt 3.4.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{6} - 1}{e^{3}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Schreibe $e^{6}$ als ${(e^{2})}^{3}$ um.

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1}{e^{3}}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1^{3}}{e^{3}}$

Schritt 3.5.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = e^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(e^{2} - 1^{2}) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Schritt 3.5.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Schritt 3.5.4.3

Mutltipliziere $e^{2}$ mit $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{2 \cdot 2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Schritt 3.5.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Schritt 3.5.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1)}{e^{3}}$