Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ on $1$ , $9$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (9) - f (1)}{(9) - (1)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ für $f (9)$ und $f (1)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{1}{\sqrt{9}}) - (\frac{1}{\sqrt{1}})}{(9) - (1)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $\sqrt{9} \sqrt{1}$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{1}}}{9 - (1)}$ mit $\frac{\sqrt{9} \sqrt{1}}{\sqrt{9} \sqrt{1}}$ .

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{1}}{\sqrt{9} \sqrt{1}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{1}}}{9 - (1)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{1} (\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{1}})}{\sqrt{9} \sqrt{1} (9 - (1))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{1} \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{1} (- \frac{1}{\sqrt{1}})}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{9}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $\sqrt{9}$ aus $\sqrt{9} \sqrt{1}$ heraus.

$\frac{\sqrt{9} (\sqrt{1}) \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{1} (- \frac{1}{\sqrt{1}})}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{1} \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{1} (- \frac{1}{\sqrt{1}})}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{1} + \sqrt{9} \sqrt{1} (- \frac{1}{\sqrt{1}})}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\sqrt{1}}$ in den Zähler.

$\frac{\sqrt{1} + \sqrt{9} \sqrt{1} \frac{- 1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $\sqrt{1}$ aus $\sqrt{9} \sqrt{1}$ heraus.

$\frac{\sqrt{1} + \sqrt{1} \sqrt{9} \frac{- 1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{1} + \sqrt{1} \sqrt{9} \frac{- 1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{1} + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1 + \sqrt{3^{2}} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1 + 3 \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - 3}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.4.5

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{9} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{- 2}{\sqrt{3^{2}} \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 2}{3 \sqrt{1} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.5.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{- 2}{3 \cdot 1 \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.5.4

Multipliziere $3 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{- 2}{3 \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.5.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{- 2}{27 + \sqrt{9} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.5.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{- 2}{27 + \sqrt{3^{2}} \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.5.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 2}{27 + 3 \sqrt{1} (- (1))}$

Schritt 3.5.7

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{- 2}{27 + 3 \cdot 1 (- (1))}$

Schritt 3.5.8

Multipliziere $3 \cdot 1 (- (1))$ .

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Schritt 3.5.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{- 2}{27 + 3 (- (1))}$

Schritt 3.5.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 2}{27 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{27 - 3}$

Schritt 3.5.9

Subtrahiere $3$ von $27$ .

$\frac{- 2}{24}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $24$ .

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{24}$

Schritt 3.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{12}$

Schritt 3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{12}$