Elementarmathematik Beispiele

What is the average rate of change of $h (x) = \frac{1}{10 - x}$ over the interval $5 \leq x \leq 8$ ?

Schritt 1

Schreibe $h (x) = \frac{1}{10 - x}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{10 - x}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (8) - f (5)}{(8) - (5)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{1}{10 - x}$ für $f (8)$ und $f (5)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{1}{10 - (8)}) - (\frac{1}{10 - (5)})}{(8) - (5)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(10 - (8)) (10 - (5))$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$ mit $\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}$ .

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)} \cdot \frac{\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)}}{8 - (5)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (\frac{1}{10 - (8)} - \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (8 - (5))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{10 - (8)} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 - 1 \cdot 8$ .

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{1}{(10 - (8)) \cdot 1} + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- \frac{1}{10 - (5)})}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 - 1 \cdot 5$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{10 - (5)}$ in den Zähler.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $10 - 1 \cdot 5$ aus $(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5)$ heraus.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{10 - (5)}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.3.2.3

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 5) (10 - 1 \cdot 8) \frac{- 1}{(10 - (5)) \cdot 1}}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 1 \cdot 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{10 - 5 + (10 - 8) \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $8$ von $10$ .

$\frac{10 - 5 + 2 \cdot - 1}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{10 - 5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.4.4

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$\frac{5 - 2}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.4.5

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{3}{(10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{3}{(10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $8$ von $10$ .

$\frac{3}{2 (10 - 1 \cdot 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{3}{2 (10 - 5) \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.5.4

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.5.5

Multipliziere $2 \cdot 5 \cdot 8$ .

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Schritt 3.5.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{3}{10 \cdot 8 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.5.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $8$ .

$\frac{3}{80 + (10 - 1 \cdot 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{3}{80 + (10 - 8) (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.5.7

Subtrahiere $8$ von $10$ .

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 1 \cdot 5) (- (5))}$

Schritt 3.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{3}{80 + 2 (10 - 5) (- (5))}$

Schritt 3.5.9

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$\frac{3}{80 + 2 \cdot 5 (- (5))}$

Schritt 3.5.10

Multipliziere $2 \cdot 5 (- (5))$ .

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Schritt 3.5.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{3}{80 + 10 (- (5))}$

Schritt 3.5.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{3}{80 + 10 \cdot - 5}$

Schritt 3.5.10.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 5$ .

$\frac{3}{80 - 50}$

Schritt 3.5.11

Subtrahiere $50$ von $80$ .

$\frac{3}{30}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $30$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{30}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $30$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 10}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10}$