Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{2} - 4$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot ((x + h) (x + h)) - 4$

Schritt 3.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) - 4$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4$

Schritt 3.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4$

Schritt 3.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 3.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4$

Schritt 3.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4$

Schritt 3.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Schritt 3.1.2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Schritt 3.1.2.1.5.2

Multipliziere $\frac{1}{3} (2 h x)$ .

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Schritt 3.1.2.1.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2}{3} \cdot (h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Schritt 3.1.2.1.5.2.2

Kombiniere $h$ und $\frac{2}{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot 2}{3} \cdot x + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Schritt 3.1.2.1.5.2.3

Kombiniere $\frac{h \cdot 2}{3}$ und $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

Schritt 3.1.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Schritt 3.1.2.1.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

Schritt 3.2

Stelle um.

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Schritt 3.2.1

Bewege $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

Schritt 3.2.2

Stelle $\frac{2 h x}{3}$ und $\frac{h^{2}}{3}$ um.

$\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

Schritt 3.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - (\frac{x^{2}}{3} - 4)}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} - - 4}{h}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} + 4}{h}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{3}$ von $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0 - 4 + 4}{h}$

Schritt 5.1.4

Addiere $\frac{h^{2}}{3}$ und $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} - 4 + 4}{h}$

Schritt 5.1.5

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0}{h}$

Schritt 5.1.6

Addiere $\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}$ und $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}}{h}$

Schritt 5.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{h^{2} + 2 h x}{3}}{h}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.8.1

Bewege $h$ .

$\frac{\frac{h^{2} + 2 x h}{3}}{h}$

Schritt 5.1.8.2

Stelle $h^{2}$ und $2 x h$ um.

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.9

Faktorisiere $h$ aus $2 x h + h^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $2 x h$ heraus.

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{3}}{h}$

Schritt 5.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $h (2 x) + h (h)$ heraus.

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{3}}{h}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x + h}{3}$

Schritt 6