Elementarmathematik Beispiele

$y = 3 \sin (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $y = 3 \sin (2 x)$ als Funktion.

$f (x) = 3 \sin (2 x)$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 3 \sin (2 (x + h))$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 \sin (2 x + 2 h)$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 \sin (2 x + 2 h)$ .

$3 \sin (2 x + 2 h)$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 3 \sin (2 x + 2 h)$

$f (x) = 3 \sin (2 x)$

$f (x + h) = 3 \sin (2 x + 2 h)$

$f (x) = 3 \sin (2 x)$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{3 \sin (2 x + 2 h) - (3 \sin (2 x))}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Schritt 5.1.1

Wende die Summenformel für den Sinus an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\frac{(3 (3 (\sin (2 x) \cos (2 h) + \cos (2 x) \sin (2 h)))) - (3 \sin (2 x))}{h}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 (3 (\sin (2 x) \cos (2 h)) + 3 (\cos (2 x) \sin (2 h)))) - (3 \sin (2 x))}{h}$

Schritt 5.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 (3 \sin (2 x) \cos (2 h)) + 3 (3 \cos (2 x) \sin (2 h))) - (3 \sin (2 x))}{h}$

Schritt 5.1.2.3

Multipliziere.

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Schritt 5.1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{(9 (\sin (2 x) \cos (2 h)) + 3 (3 \cos (2 x) \sin (2 h))) - (3 \sin (2 x))}{h}$

Schritt 5.1.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{(9 (\sin (2 x) \cos (2 h)) + 9 (\cos (2 x) \sin (2 h))) - (3 \sin (2 x))}{h}$

Schritt 5.1.3

Entferne die Klammern.

$\frac{(9 \sin (2 x) \cos (2 h) + 9 \cos (2 x) \sin (2 h)) - (3 \sin (2 x))}{h}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{9 \sin (2 x) \cos (2 h) + 9 \cos (2 x) \sin (2 h) - 3 \sin (2 x)}{h}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3$ aus $9 \sin (2 x) \cos (2 h) + 9 \cos (2 x) \sin (2 h) - 3 \sin (2 x)$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 \sin (2 x) \cos (2 h)$ heraus.

$\frac{3 (3 \sin (2 x) \cos (2 h)) + 9 \cos (2 x) \sin (2 h) - 3 \sin (2 x)}{h}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $3$ aus $9 \cos (2 x) \sin (2 h)$ heraus.

$\frac{3 (3 \sin (2 x) \cos (2 h)) + 3 (3 \cos (2 x) \sin (2 h)) - 3 \sin (2 x)}{h}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sin (2 x)$ heraus.

$\frac{3 (3 \sin (2 x) \cos (2 h)) + 3 (3 \cos (2 x) \sin (2 h)) + 3 (- \sin (2 x))}{h}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 \sin (2 x) \cos (2 h)) + 3 (3 \cos (2 x) \sin (2 h))$ heraus.

$\frac{3 (3 \sin (2 x) \cos (2 h) + 3 \cos (2 x) \sin (2 h)) + 3 (- \sin (2 x))}{h}$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 \sin (2 x) \cos (2 h) + 3 \cos (2 x) \sin (2 h)) + 3 (- \sin (2 x))$ heraus.

$\frac{3 (3 \sin (2 x) \cos (2 h) + 3 \cos (2 x) \sin (2 h) - \sin (2 x))}{h}$

Schritt 6