Elementarmathematik Beispiele

$V = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Schritt 1

Schreibe $V = \frac{4 π r^{3}}{3}$ als Funktion.

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = r + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $r$ durch $r + h$ .

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Schritt 3.1.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{\frac{4 π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}) - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 4 π (3 r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 12 π (r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2.4

Entferne die Klammern.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2.5

Subtrahiere $4 π r^{3}$ von $4 π r^{3}$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} + 0}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2.6

Addiere $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ und $0$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2.7

Faktorisiere $4 π h$ aus $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.7.1

Faktorisiere $4 π h$ aus $12 π r^{2} h$ heraus.

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2.7.2

Faktorisiere $4 π h$ aus $12 π r h^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2.7.3

Faktorisiere $4 π h$ aus $4 π h^{3}$ heraus.

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2.7.4

Faktorisiere $4 π h$ aus $4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h)$ heraus.

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.2.7.5

Faktorisiere $4 π h$ aus $4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}}{h}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3

Kombinieren.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}$

Schritt 6