Elementarmathematik Beispiele

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = t + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $t + h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{{(t + h)}^{2} + 4}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(t + h)}^{2}$ als $(t + h) (t + h)$ um.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{(t + h) (t + h) + 4}$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(t + h) (t + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t (t + h) + h (t + h) + 4}$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h (t + h) + 4}$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h t + h \cdot h + 4}$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h \cdot h + 4}$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h^{2} + 4}$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere $t h$ und $h t$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle $t$ und $h$ um.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + h t + h t + h^{2} + 4}$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere $h t$ und $h t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{C (t + h) - C t}{h} = \frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} - (\frac{0.2 t}{t^{2} + 4})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ mit $\frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$ mit $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 4) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(t^{2} + 4) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)$ um.

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Bewege $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 (t + h) (t^{2} + 4)$ heraus.

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.3

Faktorisiere $0.2$ aus $- 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)$ heraus.

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.4

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))$ heraus.

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Multipliziere $(t + h) (t^{2} + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{0.2 (t (t^{2} + 4) + h (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 4 + h (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.3.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.3.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.3.1.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{1} t^{2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{0.2 (t^{1 + 2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 \cdot t + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t \cdot t^{2} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.5.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.5.1.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - (t^{2} t) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.1.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 4.1.5.5.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - (t^{2} t^{1}) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{2 + 1} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.2

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.5.2.1

Bewege $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - (t \cdot t) (2 h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Subtrahiere $t^{3}$ von $t^{3}$ .

$\frac{\frac{0.2 (4 t + h t^{2} + 4 h + 0 - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Addiere $4 t$ und $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (4 t + h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Subtrahiere $4 t$ von $4 t$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2} + 0)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Addiere $h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11

Subtrahiere $2 t^{2} h$ von $h t^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.11.1

Stelle $h$ und $t^{2}$ um.

$\frac{\frac{0.2 (t^{2} h - 2 t^{2} h + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11.2

Subtrahiere $2 t^{2} h$ von $t^{2} h$ .

$\frac{\frac{0.2 (- t^{2} h + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12

Faktorisiere $h$ aus $- t^{2} h + 4 h - t h^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.5.12.1

Faktorisiere $h$ aus $- t^{2} h$ heraus.

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12.2

Faktorisiere $h$ aus $4 h$ heraus.

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 4 - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12.3

Faktorisiere $h$ aus $- t h^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 4 + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12.4

Faktorisiere $h$ aus $h (- t^{2}) + h \cdot 4$ heraus.

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 4) + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12.5

Faktorisiere $h$ aus $h (- t^{2} + 4) + h (- t h)$ heraus.

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 4 - t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

$\frac{\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kombinieren.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4) h}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4) h}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0.2 (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $0.2$ mit $1$ .

$\frac{0.2 (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{2}$ heraus.

$\frac{0.2 (- (t^{2}) + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Schritt 4.7

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{0.2 (- (t^{2}) - 1 (- 4) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{2}) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Schritt 4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- t h$ heraus.

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4) - (t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Schritt 4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{2} - 4) - (t h)$ heraus.

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Schritt 4.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.11.1

Schreibe $- (t^{2} - 4 + t h)$ als $- 1 (t^{2} - 4 + t h)$ um.

$\frac{0.2 (- 1 (t^{2} - 4 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Schritt 4.11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{0.2 (t^{2} - 4 + t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

Schritt 5