Elementarmathematik Beispiele

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Schritt 1

Schreibe $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ als Funktion.

$f (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = r + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $r$ durch $r + h$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π {(r + h)}^{3})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}))$

Schritt 3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π (3 r^{2} h) + π (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Schritt 3.1.2.3

Entferne die Klammern.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π \cdot (3 r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Schritt 3.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 \cdot (π r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Schritt 3.1.2.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 π r^{2} h + 3 π r h^{2} + π h^{3})$

Schritt 3.1.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Schritt 3.1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.6.1

Multipliziere $\frac{4}{3} (π r^{3})$ .

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Schritt 3.1.2.6.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Schritt 3.1.2.6.1.2

Kombiniere $\frac{π \cdot 4}{3}$ und $r^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Schritt 3.1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π r^{2} h$ heraus.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Schritt 3.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Schritt 3.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Schritt 3.1.2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.6.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π r h^{2}$ heraus.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Schritt 3.1.2.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Schritt 3.1.2.6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Schritt 3.1.2.6.4

Multipliziere $\frac{4}{3} (π h^{3})$ .

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Schritt 3.1.2.6.4.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot 4}{3} h^{3}$

Schritt 3.1.2.6.4.2

Kombiniere $\frac{π \cdot 4}{3}$ und $h^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Schritt 3.1.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.7.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 \cdot (π r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Schritt 3.1.2.7.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Schritt 3.1.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Schritt 3.2

Stelle um.

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Schritt 3.2.1

Bewege $r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Schritt 3.2.2

Bewege $r$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Schritt 3.2.3

Bewege $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Schritt 3.2.4

Bewege $4 π h r^{2}$ .

$4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Schritt 3.2.5

Stelle $4 π h^{2} r$ und $\frac{4 π h^{3}}{3}$ um.

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Schritt 3.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $\frac{4 π r^{3}}{3}$ von $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + 0}{h}$

Schritt 5.1.2

Addiere $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4 π h$ aus $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $4 π h$ aus $\frac{4 π h^{3}}{3}$ heraus.

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Schritt 5.1.3.2

Faktorisiere $4 π h$ aus $4 π h^{2} r$ heraus.

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Schritt 5.1.3.3

Faktorisiere $4 π h$ aus $4 π h r^{2}$ heraus.

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Schritt 5.1.3.4

Faktorisiere $4 π h$ aus $4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r)$ heraus.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Schritt 5.1.3.5

Faktorisiere $4 π h$ aus $4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}$ heraus.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r + r^{2})}{h}$

Schritt 5.1.4

Um $h r$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r \cdot \frac{3}{3} + r^{2})}{h}$

Schritt 5.1.5

Kombiniere $h r$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + \frac{h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Schritt 5.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2} + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Schritt 5.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} + h r \cdot 3$ heraus.

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Schritt 5.1.7.1.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$\frac{4 π h (\frac{h \cdot h + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Schritt 5.1.7.1.2

Faktorisiere $h$ aus $h r \cdot 3$ heraus.

$\frac{4 π h (\frac{h (h) + h (r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Schritt 5.1.7.1.3

Faktorisiere $h$ aus $h (h) + h (r \cdot 3)$ heraus.

$\frac{4 π h (\frac{h (h + r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Schritt 5.1.7.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $r$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2})}{h}$

Schritt 5.1.8

Um $r^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2} \cdot \frac{3}{3})}{h}$

Schritt 5.1.9

Kombiniere $r^{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + \frac{r^{2} \cdot 3}{3})}{h}$

Schritt 5.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 π h \frac{h (h + 3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Schritt 5.1.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 π h \frac{h (h) + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Schritt 5.1.11.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Schritt 5.1.11.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Schritt 5.1.11.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}}{h}$

Schritt 5.1.12

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.1.12.1

Kombiniere $4$ und $\frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}$ .

$\frac{π h \frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Schritt 5.1.12.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$ .

$\frac{h \frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}}{h}$

Schritt 5.1.12.3

Kombiniere $h$ und $\frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}$ .

$\frac{\frac{h (π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})))}{3}}{h}$

Schritt 5.1.13

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{\frac{h π \cdot 4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Schritt 5.1.14

Bringe $4$ auf die linke Seite von $h π$ .

$\frac{\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3

Kombinieren.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$

Schritt 6