Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{5}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (1) - f (- 1)}{(1) - (- 1)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{5}{x^{2} + 1}$ für $f (1)$ und $f (- 1)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{5}{{(1)}^{2} + 1}) - (\frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1) - (- 1)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{5}{1^{2} + 1} - \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{1 - (- 1)}$ mit $\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}$ .

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)} \cdot \frac{\frac{5}{1^{2} + 1} - \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{1 - (- 1)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (\frac{5}{1^{2} + 1} - \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (1 - (- 1))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \frac{5}{1^{2} + 1} + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1^{2} + 1$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- 1)}^{2} + 1$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1}$ in den Zähler.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \frac{- 5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere ${(- 1)}^{2} + 1$ aus $(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + ({(- 1)}^{2} + 1) (1^{2} + 1) \frac{- 5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + ({(- 1)}^{2} + 1) (1^{2} + 1) \frac{- 5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(1 + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot 5 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{10 + (1 + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{10 + 2 \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{10 - 10}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.4.7

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$\frac{0}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{(1 + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{2 ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 (1 + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2 \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.5

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 3.5.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{0}{4 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{4 + (1 + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{4 + 2 ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 + 2 (1 + 1) (- (- 1))}$

Schritt 3.5.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{4 + 2 \cdot 2 (- (- 1))}$

Schritt 3.5.10

Multipliziere $2 \cdot 2 (- (- 1))$ .

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Schritt 3.5.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 + 4 (- (- 1))}$

Schritt 3.5.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{0}{4 + 4 \cdot 1}$

Schritt 3.5.10.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{0}{4 + 4}$

Schritt 3.5.11

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{0}{8}$

Schritt 3.6

Dividiere $0$ durch $8$ .

$0$