Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x}{3 x^{2} - 5 x}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{3 {(x + h)}^{2} - 5 (x + h)}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1.1

Faktorisiere $x + h$ aus $3 {(x + h)}^{2} - 5 (x + h)$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $x + h$ aus $3 {(x + h)}^{2}$ heraus.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 (x + h)) - 5 (x + h)}$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Faktorisiere $x + h$ aus $- 5 (x + h)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 (x + h)) + (x + h) \cdot - 5}$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Faktorisiere $x + h$ aus $(x + h) (3 (x + h)) + (x + h) \cdot - 5$ heraus.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 (x + h) - 5)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 x + 3 h - 5)}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + h$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) (3 x + 3 h - 5)}$

Schritt 2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x + h) = \frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$ .

$\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

$f (x) = \frac{1}{3 x - 5}$

$f (x + h) = \frac{1}{3 x + 3 h - 5}$

$f (x) = \frac{1}{3 x - 5}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{3 x + 3 h - 5} - (\frac{1}{3 x - 5})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{\frac{1}{3 x + 3 h - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} - \frac{1}{3 x - 5}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{1}{3 x - 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}$ .

$\frac{\frac{1}{3 x + 3 h - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} - \frac{1}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 x + 3 h - 5}$ mit $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{\frac{3 x - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} - \frac{1}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 x - 5}$ mit $\frac{3 x + 3 h - 5}{3 x + 3 h - 5}$ .

$\frac{\frac{3 x - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} - \frac{3 x + 3 h - 5}{(3 x - 5) (3 x + 3 h - 5)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(3 x - 5) (3 x + 3 h - 5)$ um.

$\frac{\frac{3 x - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} - \frac{3 x + 3 h - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 x - 5 - (3 x + 3 h - 5)}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{3 x - 5 - (3 x + 3 h - 5)}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 x - 5 - (3 x) - (3 h) - - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{3 x - 5 - 3 x - (3 h) - - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{3 x - 5 - 3 x - 3 h - - 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{\frac{3 x - 5 - 3 x - 3 h + 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$\frac{\frac{0 - 5 - 3 h + 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$\frac{\frac{- 5 - 3 h + 5}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Addiere $- 5$ und $5$ .

$\frac{\frac{- 3 h + 0}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Addiere $- 3 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$ in den Zähler.

$\frac{- 3 h}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{(3 x + 3 h - 5) (3 x - 5)}$

Schritt 5