Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) (x + h) + 2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{3}{x (x + h) + h (x + h) + 2}$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{3}{x \cdot x + x h + h (x + h) + 2}$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{3}{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2}$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2}$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

$f (x + h) = \frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$

$f (x) = \frac{3}{x^{2} + 2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} - (\frac{3}{x^{2} + 2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2} - \frac{3}{x^{2} + 2}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{3}{x^{2} + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2} - \frac{3}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ mit $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)} - \frac{3}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x^{2} + 2}$ mit $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)} - \frac{3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ um.

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)} - \frac{3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 2) - 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)$ heraus.

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2) + 3 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 2) + 3 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))$ heraus.

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 1 \cdot 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 1 \cdot 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{3 (x^{2} + 2 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{\frac{3 (0 + 2 - 2 h x - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{\frac{3 (2 - 2 h x - h^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 h x - h^{2} + 0)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Addiere $- 2 h x - h^{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 h x - h^{2})}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h x - h^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.5.8.1

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h x$ heraus.

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x) - h^{2})}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8.2

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x) + h (- h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8.3

Faktorisiere $h$ aus $h (- 2 x) + h (- h)$ heraus.

$\frac{\frac{3 (h (- 2 x - h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

$\frac{\frac{3 h (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 h (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kombinieren.

$\frac{3 h (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) h}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 h (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2) h}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (- 2 x - h) \cdot 1}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x) - h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - h$ heraus.

$\frac{3 (- (2 x + h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.8.1

Schreibe $- (2 x + h)$ als $- 1 (2 x + h)$ um.

$\frac{3 (- 1 (2 x + h))}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Schritt 4.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (2 x + h)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2)}$

Schritt 5