Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 (x + h)}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ .

$\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

$f (x + h) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}} - (\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ .

$\frac{\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} - \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ .

$\frac{\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} - \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ mit $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x}}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} - \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}} \cdot \frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ mit $\frac{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}{1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}}$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} - \frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ um.

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} - \frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) - 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) - 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $24$ aus $24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) - 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $24$ aus $- 24 (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ heraus.

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) + 24 (- (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $24$ aus $24 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) + 24 (- (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))$ heraus.

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - 1 \cdot 1 - (3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - 1 - (3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{24 (1 + 3 e^{- 1.3 x} - 1 - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{\frac{24 (3 e^{- 1.3 x} + 0 - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Addiere $3 e^{- 1.3 x}$ und $0$ .

$\frac{\frac{24 (3 e^{- 1.3 x} - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{- 1.3 x} - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}$ heraus.

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Schritt 4.1.5.7.1

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{- 1.3 x}$ heraus.

$\frac{\frac{24 (3 (e^{- 1.3 x}) - 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}$ heraus.

$\frac{\frac{24 (3 (e^{- 1.3 x}) + 3 (- e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (e^{- 1.3 x}) + 3 (- e^{- 1.3 x - 1.3 h})$ heraus.

$\frac{\frac{24 (3 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h}))}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

$\frac{\frac{24 \cdot 3 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Mutltipliziere $24$ mit $3$ .

$\frac{\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kombinieren.

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h}) \cdot 1}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x}) h}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $72$ mit $1$ .

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x}) h}$

Schritt 4.4.2

Stelle die Faktoren in $\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{(1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x}) h}$ um.

$\frac{72 (e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x - 1.3 h})}{h (1 + 3 e^{- 1.3 x - 1.3 h}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})}$

Schritt 5