Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- x^{2}}{x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere ${(x + h)}^{2}$ aus ${(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Faktorisiere ${(x + h)}^{2}$ aus ${(x + h)}^{3}$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) - {(x + h)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Faktorisiere ${(x + h)}^{2}$ aus $- {(x + h)}^{2}$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1}$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere ${(x + h)}^{2}$ aus ${(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + h)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

Schritt 2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x + h) = \frac{- 1}{x + h - 1}$

Schritt 2.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

Schritt 2.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{x + h - 1}$ .

$- \frac{1}{x + h - 1}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h - 1} - (- \frac{1}{x - 1})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Multipliziere $- - \frac{1}{x - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + 1 \frac{1}{x - 1}}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{1}{x + h - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

Schritt 4.1.3

Um $\frac{1}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Schritt 4.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h - 1) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + h - 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + h - 1)$ um.

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- x - - 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- x + 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.6.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{\frac{0 + 1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{\frac{1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.6.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{\frac{h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.6.6

Addiere $h$ und $0$ .

$\frac{\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 5