Elementarmathematik Beispiele

$y = - \sqrt{x - 1} + 5$

Schritt 1

Schreibe $y = - \sqrt{x - 1} + 5$ als Funktion.

$f (x) = - \sqrt{x - 1} + 5$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = - \sqrt{(x + h) - 1} + 5$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = - \sqrt{x + h - 1} + 5$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{x + h - 1} + 5$ .

$- \sqrt{x + h - 1} + 5$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - \sqrt{x + h - 1} + 5$

$f (x) = - \sqrt{x - 1} + 5$

$f (x + h) = - \sqrt{x + h - 1} + 5$

$f (x) = - \sqrt{x - 1} + 5$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \sqrt{x + h - 1} + 5 - (- \sqrt{x - 1} + 5)}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \sqrt{x + h - 1} + 5 - - \sqrt{x - 1} - 1 \cdot 5}{h}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- - \sqrt{x - 1}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{x + h - 1} + 5 + 1 \sqrt{x - 1} - 1 \cdot 5}{h}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{x - 1}$ mit $1$ .

$\frac{- \sqrt{x + h - 1} + 5 + \sqrt{x - 1} - 1 \cdot 5}{h}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{- \sqrt{x + h - 1} + 5 + \sqrt{x - 1} - 5}{h}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{- \sqrt{x + h - 1} + 0 + \sqrt{x - 1}}{h}$

Schritt 5.1.5

Addiere $- \sqrt{x + h - 1}$ und $0$ .

$\frac{- \sqrt{x + h - 1} + \sqrt{x - 1}}{h}$

Schritt 5.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{x - 1}$ heraus.

$\frac{- \sqrt{x + h - 1} - 1 (- \sqrt{x - 1})}{h}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{x + h - 1} - 1 (- \sqrt{x - 1})$ heraus.

$\frac{- (\sqrt{x + h - 1} - \sqrt{x - 1})}{h}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $- (\sqrt{x + h - 1} - \sqrt{x - 1})$ als $- 1 (\sqrt{x + h - 1} - \sqrt{x - 1})$ um.

$\frac{- 1 (\sqrt{x + h - 1} - \sqrt{x - 1})}{h}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{x + h - 1} - \sqrt{x - 1}}{h}$

Schritt 6