Elementarmathematik Beispiele

$y = {(1.06)}^{8 t}$

Schritt 1

Schreibe $y = {(1.06)}^{8 t}$ als Funktion.

$f (t) = {(1.06)}^{8 t}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = t + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $t + h$ .

$f (t + h) = {(1.06)}^{8 (t + h)}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (t + h) = {1.06}^{8 t + 8 h}$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist ${1.06}^{8 t + 8 h}$ .

${1.06}^{8 t + 8 h}$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (t + h) = {1.06}^{8 t + 8 h}$

$f (t) = {1.06}^{8 t}$

$f (t + h) = {1.06}^{8 t + 8 h}$

$f (t) = {1.06}^{8 t}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{{1.06}^{8 t + 8 h} - ({1.06}^{8 t})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe ${1.06}^{8 t + 8 h}$ als ${({1.06}^{4 t + 4 h})}^{2}$ um.

$\frac{{({1.06}^{4 t + 4 h})}^{2} - {1.06}^{8 t}}{h}$

Schritt 5.2

Schreibe ${1.06}^{8 t}$ als ${({1.06}^{4 t})}^{2}$ um.

$\frac{{({1.06}^{4 t + 4 h})}^{2} - {({1.06}^{4 t})}^{2}}{h}$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {1.06}^{4 t + 4 h}$ und $b = {1.06}^{4 t}$ .

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) ({1.06}^{4 t + 4 h} - {1.06}^{4 t})}{h}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Schreibe ${1.06}^{4 t + 4 h}$ als ${({1.06}^{2 t + 2 h})}^{2}$ um.

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) ({({1.06}^{2 t + 2 h})}^{2} - {1.06}^{4 t})}{h}$

Schritt 5.4.2

Schreibe ${1.06}^{4 t}$ als ${({1.06}^{2 t})}^{2}$ um.

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) ({({1.06}^{2 t + 2 h})}^{2} - {({1.06}^{2 t})}^{2})}{h}$

Schritt 5.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {1.06}^{2 t + 2 h}$ und $b = {1.06}^{2 t}$ .

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) (({1.06}^{2 t + 2 h} + {1.06}^{2 t}) ({1.06}^{2 t + 2 h} - {1.06}^{2 t}))}{h}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.4.1

Schreibe ${1.06}^{2 t + 2 h}$ als ${({1.06}^{t + h})}^{2}$ um.

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) (({1.06}^{2 t + 2 h} + {1.06}^{2 t}) ({({1.06}^{t + h})}^{2} - {1.06}^{2 t}))}{h}$

Schritt 5.4.4.2

Schreibe ${1.06}^{2 t}$ als ${({1.06}^{t})}^{2}$ um.

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) (({1.06}^{2 t + 2 h} + {1.06}^{2 t}) ({({1.06}^{t + h})}^{2} - {({1.06}^{t})}^{2}))}{h}$

Schritt 5.4.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {1.06}^{t + h}$ und $b = {1.06}^{t}$ .

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) (({1.06}^{2 t + 2 h} + {1.06}^{2 t}) ({1.06}^{t + h} + {1.06}^{t}) ({1.06}^{t + h} - {1.06}^{t}))}{h}$

$\frac{({1.06}^{4 t + 4 h} + {1.06}^{4 t}) ({1.06}^{2 t + 2 h} + {1.06}^{2 t}) ({1.06}^{t + h} + {1.06}^{t}) ({1.06}^{t + h} - {1.06}^{t})}{h}$

Schritt 6