Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 7$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (7) - f (1)}{(7) - (1)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ für $f (7)$ und $f (1)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - 1}}{7}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(7) - (1)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Dividiere $\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - 1}}{7} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(7) - (1)}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1}}{7 - (1)}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{7} \cdot \frac{\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1}}{7 - (1)}$

Schritt 3.2.2

Kombinieren.

$\frac{7 (\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1})}{7 (7 - (1))}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 \frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{7^{2} - 1} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 1} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von $49$ .

$\frac{\sqrt{48} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5.3

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$\frac{\sqrt{16 (3)} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5.3.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 3} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{1 - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{0})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{0^{2}})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- 0)}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5.9

Multipliziere $7 (- 0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 \cdot 0}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5.9.2

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{4 \sqrt{3} + 0}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.5.10

Addiere $4 \sqrt{3}$ und $0$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 + 7 (- (1))}$

Schritt 3.6.2

Multipliziere $7 (- (1))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 + 7 \cdot - 1}$

Schritt 3.6.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 - 7}$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $7$ von $49$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{42}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $42$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{42}$

Schritt 3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $42$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 (21)}$

Schritt 3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 21}$

Schritt 3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{21}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{3}}{21}$

Dezimalform:

$0.16495721 \dots$