Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kombiniere $7$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.3.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = \frac{- ((x + h) (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{- (x (x + h) + h (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{- (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{- (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.3.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - (2 h x) - h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.1.2.3.6

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 28}{4}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1.2.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (x^{2}) - 2 h x - h^{2} + 28}{4}$

Schritt 2.1.2.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 h x$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (x^{2}) - (2 h x) - h^{2} + 28}{4}$

Schritt 2.1.2.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (2 h x)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x) - h^{2} + 28}{4}$

Schritt 2.1.2.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- h^{2}$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x) - (h^{2}) + 28}{4}$

Schritt 2.1.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 2 h x) - (h^{2})$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 28}{4}$

Schritt 2.1.2.4.6

Schreibe $28$ als $- 1 (- 28)$ um.

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 1 \cdot - 28}{4}$

Schritt 2.1.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 1 (- 28)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)}{4}$

Schritt 2.1.2.4.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.8.1

Schreibe $- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)$ als $- 1 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)$ um.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)}{4}$

Schritt 2.1.2.4.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

Schritt 2.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$ .

$- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} - (- \frac{x^{2}}{4} + 7)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} - - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- - \frac{x^{2}}{4}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + 1 \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{4}$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + \frac{x^{2}}{4} - 7}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28) + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{- x^{2} - (2 h x) - h^{2} - - 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - - 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 28$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 + 0}{4} - 7}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Addiere $- 2 h x - h^{2} + 28$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} - 7}{h}$

Schritt 4.1.6

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} - 7 \cdot \frac{4}{4}}{h}$

Schritt 4.1.7

Kombiniere $- 7$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Schritt 4.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 - 7 \cdot 4}{4}}{h}$

Schritt 4.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.9.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 - 28}{4}}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Subtrahiere $28$ von $28$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 0}{4}}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Addiere $- 2 h x - h^{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2}}{4}}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h x - h^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.9.4.1

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h x$ heraus.

$\frac{\frac{h (- 2 x) - h^{2}}{4}}{h}$

Schritt 4.1.9.4.2

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{h (- 2 x) + h (- h)}{4}}{h}$

Schritt 4.1.9.4.3

Faktorisiere $h$ aus $h (- 2 x) + h (- h)$ heraus.

$\frac{\frac{h (- 2 x - h)}{4}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{h (- 2 x - h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (- 2 x - h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x - h}{4}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- (2 x) - h}{4}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - h$ heraus.

$\frac{- (2 x + h)}{4}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Schreibe $- (2 x + h)$ als $- 1 (2 x + h)$ um.

$\frac{- 1 (2 x + h)}{4}$

Schritt 4.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x + h}{4}$

Schritt 5