Elementarmathematik Beispiele

$f (t) = 1 - 2 t + 4 t^{2}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = t + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $t + h$ .

$f (t + h) = 1 - 2 (t + h) + 4 {(t + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (t + h) = 1 - 2 t - 2 h + 4 {(t + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe ${(t + h)}^{2}$ als $(t + h) (t + h)$ um.

$f (t + h) = 1 - 2 t - 2 h + 4 ((t + h) (t + h))$

Schritt 2.1.2.1.3

Multipliziere $(t + h) (t + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (t + h) = 1 - 2 t - 2 h + 4 (t (t + h) + h (t + h))$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (t + h) = 1 - 2 t - 2 h + 4 (t \cdot t + t h + h (t + h))$

Schritt 2.1.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (t + h) = 1 - 2 t - 2 h + 4 (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$f (t + h) = 1 - 2 t - 2 h + 4 (t^{2} + t h + h t + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (t + h) = 1 - 2 t - 2 h + 4 (t^{2} + t h + h t + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Addiere $t h$ und $h t$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.2.1

Stelle $t$ und $h$ um.

$f (t + h) = 1 - 2 t - 2 h + 4 (t^{2} + h t + h t + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.4.2.2

Addiere $h t$ und $h t$ .

$f (t + h) = 1 - 2 t - 2 h + 4 (t^{2} + 2 h t + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (t + h) = 1 - 2 t - 2 h + 4 t^{2} + 4 (2 h t) + 4 h^{2}$

Schritt 2.1.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (t + h) = 1 - 2 t - 2 h + 4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $1 - 2 t - 2 h + 4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2}$ .

$1 - 2 t - 2 h + 4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $1$ .

$- 2 t - 2 h + 4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2} + 1$

Schritt 2.2.2

Bewege $- 2 t$ .

$- 2 h + 4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2} - 2 t + 1$

Schritt 2.2.3

Bewege $- 2 h$ .

$4 t^{2} + 8 h t + 4 h^{2} - 2 h - 2 t + 1$

Schritt 2.2.4

Bewege $4 t^{2}$ .

$8 h t + 4 h^{2} + 4 t^{2} - 2 h - 2 t + 1$

Schritt 2.2.5

Stelle $8 h t$ und $4 h^{2}$ um.

$4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 2 h - 2 t + 1$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (t + h) = 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 2 h - 2 t + 1$

$f (t) = 1 - 2 t + 4 t^{2}$

$f (t + h) = 4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 2 h - 2 t + 1$

$f (t) = 1 - 2 t + 4 t^{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 2 h - 2 t + 1 - (1 - 2 t + 4 t^{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 2 h - 2 t + 1 - 1 \cdot 1 - (- 2 t) - (4 t^{2})}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 2 h - 2 t + 1 - 1 - (- 2 t) - (4 t^{2})}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 2 h - 2 t + 1 - 1 + 2 t - (4 t^{2})}{h}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h t + 4 t^{2} - 2 h - 2 t + 1 - 1 + 2 t - 4 t^{2}}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $4 t^{2}$ von $4 t^{2}$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h t - 2 h - 2 t + 1 - 1 + 2 t + 0}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $4 h^{2} + 8 h t - 2 h - 2 t + 1 - 1 + 2 t$ und $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h t - 2 h - 2 t + 1 - 1 + 2 t}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- 2 t$ und $2 t$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h t - 2 h + 0 + 1 - 1}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $4 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h t - 2 h + 1 - 1}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h t - 2 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $4 h^{2} + 8 h t - 2 h$ und $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h t - 2 h}{h}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $2 h$ aus $4 h^{2} + 8 h t - 2 h$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $2 h$ aus $4 h^{2}$ heraus.

$\frac{2 h (2 h) + 8 h t - 2 h}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $2 h$ aus $8 h t$ heraus.

$\frac{2 h (2 h) + 2 h (4 t) - 2 h}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere $2 h$ aus $- 2 h$ heraus.

$\frac{2 h (2 h) + 2 h (4 t) + 2 h \cdot - 1}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h (2 h) + 2 h (4 t)$ heraus.

$\frac{2 h (2 h + 4 t) + 2 h \cdot - 1}{h}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h (2 h + 4 t) + 2 h \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2 h (2 h + 4 t - 1)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 h (2 h + 4 t - 1)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $2 (2 h + 4 t - 1)$ durch $1$ .

$2 (2 h + 4 t - 1)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 h) + 2 (4 t) + 2 \cdot - 1$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 h + 2 (4 t) + 2 \cdot - 1$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 h + 8 t + 2 \cdot - 1$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 h + 8 t - 2$

Schritt 4.4

Stelle $4 h$ und $8 t$ um.

$8 t + 4 h - 2$

Schritt 5