Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$ ; $[1, \frac{3}{2}]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$ als Gleichung.

$y = 2 x^{2} - 2 x - 1$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (\frac{3}{2}) - f (1)}{(\frac{3}{2}) - (1)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = 2 x^{2} - 2 x - 1$ für $f (\frac{3}{2})$ und $f (1)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1) - (2 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 1)}{(\frac{3}{2}) - (1)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $2$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1 - (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1)}{\frac{3}{2} - (1)}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1 - (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1)}{\frac{3}{2} - (1)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 2 (\frac{3}{2}) - 1 - (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{2 (\frac{3}{2} - (1))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{2 (\frac{3}{2}) + 2 (- (1))}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{2 (\frac{3}{2}) + 2 (- (1))}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (2 {(\frac{3}{2})}^{2}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{4 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 \frac{9}{2^{2}} + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 (\frac{9}{4}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (\frac{9}{4}) + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 + 2 (- 2 (\frac{3}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{9 + 2 (2 (- 1) \frac{3}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 + 2 (2 \cdot - 1 \frac{3}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 + 2 (- 1 \cdot 3) + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{9 + 2 \cdot - 3 + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{9 - 6 + 2 \cdot - 1 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.10.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 - 2 \cdot 1 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.10.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (2 - 2 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.11

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- (0 - 1))}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.12

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 (- - 1)}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.13

Multipliziere $2 (- - 1)$ .

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Schritt 3.4.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2 \cdot 1}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{9 - 6 - 2 + 2}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.14

Subtrahiere $6$ von $9$ .

$\frac{3 - 2 + 2}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.15

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1 + 2}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.4.16

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3}{3 + 2 (- (1))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Multipliziere $2 (- (1))$ .

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Schritt 3.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3}{3 + 2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{3 - 2}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{1}$

Schritt 3.6

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3$