Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{2}]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \cot (x)$ als Gleichung.

$y = \cot (x)$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (\frac{3 π}{2}) - f (\frac{2 π}{3})}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{2 π}{3})}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \cot (x)$ für $f (\frac{3 π}{2})$ und $f (\frac{2 π}{3})$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\cot (\frac{3 π}{2})) - (\cot (\frac{2 π}{3}))}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{2 π}{3})}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $6$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3})}{\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3}}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3})}{\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{6 (\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{6 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{2 (3) \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{2 \cdot 3 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{3 (3 π) + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 π}{3}$ in den Zähler.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 6 \frac{- 2 π}{3}}$

Schritt 3.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 3 (2) \frac{- 2 π}{3}}$

Schritt 3.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 3 \cdot 2 \frac{- 2 π}{3}}$

Schritt 3.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 2 (- 2 π)}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))$ heraus.

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kotangens im vierten Quadranten negativ ist.

$\frac{6 (- \cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.3

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{6 (- 0 - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.5

$\frac{6 (0 - - \cot (\frac{π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.6

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{1}{\sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.8.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.8.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.8.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.9

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 3.4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{6 (0 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.9.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 (0 + \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.4.10

Addiere $0$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{6 \frac{\sqrt{3}}{3}}{9 π - 4 π}$

Schritt 3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $4 π$ von $9 π$ .

$\frac{6 \frac{\sqrt{3}}{3}}{5 π}$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $6$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3}}{3}}{5 π}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 \sqrt{3}}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3}}{5 π}$

Schritt 3.6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 (1)}}{5 π}$

Schritt 3.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{5 π}$

Schritt 3.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{1}}{5 π}$

Schritt 3.6.2

Dividiere $2 \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{5 π}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{3}}{5 π}$

Dezimalform:

$0.22053155 \dots$