Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ ;, $[- 3, - \frac{5}{2}]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ als Gleichung.

$y = x^{2} + 2 x - 1$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (- \frac{5}{2}) - f (- 3)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = x^{2} + 2 x - 1$ für $f (- \frac{5}{2})$ und $f (- 3)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1) - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $2$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{2 ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2} - (- 3))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.4.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{5^{2}}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (\frac{- 5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.7.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 (2) \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot - 5 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.10.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 - 6 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.11

Subtrahiere $6$ von $9$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (3 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.12

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- 1 \cdot 2)}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.13

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 2)$ .

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Schritt 3.4.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 \cdot - 2}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.14

Um $- 10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.15

Kombiniere $- 10$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{25}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{25 - 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.17.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $2$ .

$\frac{\frac{25 - 20}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.17.2

Subtrahiere $20$ von $25$ .

$\frac{\frac{5}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.18

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.19

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{5 - 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.21.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{5 - 4}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.21.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\frac{\frac{1}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.22

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.23

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 - 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.25.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1 - 8}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.25.2

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$\frac{\frac{- 7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.4.26

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Multipliziere $2 (- (- 3))$ .

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Schritt 3.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 6}$

Schritt 3.5.2

Addiere $- 5$ und $6$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{1}$

Schritt 3.6

Dividiere $- \frac{7}{2}$ durch $1$ .

$- \frac{7}{2}$