Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 0.04 (8 x - x^{2})$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 0.04 (8 (x + h) - {(x + h)}^{2})$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 0.04 (8 x + 8 h - {(x + h)}^{2})$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 0.04 (8 x + 8 h - ((x + h) (x + h)))$

Schritt 2.1.2.1.3

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 0.04 (8 x + 8 h - (x (x + h) + h (x + h)))$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 0.04 (8 x + 8 h - (x \cdot x + x h + h (x + h)))$

Schritt 2.1.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 0.04 (8 x + 8 h - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))$

Schritt 2.1.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 0.04 (8 x + 8 h - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h))$

Schritt 2.1.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 0.04 (8 x + 8 h - (x^{2} + x h + h x + h^{2}))$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 0.04 (8 x + 8 h - (x^{2} + h x + h x + h^{2}))$

Schritt 2.1.2.1.4.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 0.04 (8 x + 8 h - (x^{2} + 2 h x + h^{2}))$

Schritt 2.1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 0.04 (8 x + 8 h - x^{2} - (2 h x) - h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 0.04 (8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2})$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 0.04 (8 x) + 0.04 (8 h) + 0.04 (- x^{2}) + 0.04 (- 2 h x) + 0.04 (- h^{2})$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $0.04$ .

$f (x + h) = 0.32 x + 0.04 (8 h) + 0.04 (- x^{2}) + 0.04 (- 2 h x) + 0.04 (- h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $0.04$ .

$f (x + h) = 0.32 x + 0.32 h + 0.04 (- x^{2}) + 0.04 (- 2 h x) + 0.04 (- h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.04$ .

$f (x + h) = 0.32 x + 0.32 h - 0.04 x^{2} + 0.04 (- 2 h x) + 0.04 (- h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.04$ .

$f (x + h) = 0.32 x + 0.32 h - 0.04 x^{2} - 0.08 (h x) + 0.04 (- h^{2})$

Schritt 2.1.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.04$ .

$f (x + h) = 0.32 x + 0.32 h - 0.04 x^{2} - 0.08 (h x) - 0.04 h^{2}$

$f (x + h) = 0.32 x + 0.32 h - 0.04 x^{2} - 0.08 h x - 0.04 h^{2}$

Schritt 2.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.32 x + 0.32 h - 0.04 x^{2} - 0.08 h x - 0.04 h^{2}$ .

$0.32 x + 0.32 h - 0.04 x^{2} - 0.08 h x - 0.04 h^{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $0.32 x$ .

$0.32 h - 0.04 x^{2} - 0.08 h x - 0.04 h^{2} + 0.32 x$

Schritt 2.2.2

Bewege $0.32 h$ .

$- 0.04 x^{2} - 0.08 h x - 0.04 h^{2} + 0.32 h + 0.32 x$

Schritt 2.2.3

Bewege $- 0.04 x^{2}$ .

$- 0.08 h x - 0.04 h^{2} - 0.04 x^{2} + 0.32 h + 0.32 x$

Schritt 2.2.4

Stelle $- 0.08 h x$ und $- 0.04 h^{2}$ um.

$- 0.04 h^{2} - 0.08 h x - 0.04 x^{2} + 0.32 h + 0.32 x$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - 0.04 h^{2} - 0.08 h x - 0.04 x^{2} + 0.32 h + 0.32 x$

$f (x) = 0.32 x - 0.04 x^{2}$

$f (x + h) = - 0.04 h^{2} - 0.08 h x - 0.04 x^{2} + 0.32 h + 0.32 x$

$f (x) = 0.32 x - 0.04 x^{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 0.04 h^{2} - 0.08 h x - 0.04 x^{2} + 0.32 h + 0.32 x - (0.32 x - 0.04 x^{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $0.04$ aus $- 0.04 h^{2} - 0.08 h x - 0.04 x^{2} + 0.32 h + 0.32 x - (0.32 x - 0.04 x^{2})$ heraus.

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Schritt 4.1.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.1.1.1.1

Bewege $h$ .

$\frac{- 0.04 h^{2} - 0.08 x h - 0.04 x^{2} + 0.32 h + 0.32 x - (0.32 x - 0.04 x^{2})}{h}$

Schritt 4.1.1.1.2

Stelle $0.32 x$ und $- 0.04 x^{2}$ um.

$\frac{- 0.04 h^{2} - 0.08 x h - 0.04 x^{2} + 0.32 h + 0.32 x - (- 0.04 x^{2} + 0.32 x)}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Faktorisiere $0.04$ aus $- 0.04 h^{2}$ heraus.

$\frac{0.04 (- h^{2}) - 0.08 x h - 0.04 x^{2} + 0.32 h + 0.32 x - (- 0.04 x^{2} + 0.32 x)}{h}$

Schritt 4.1.1.3

Faktorisiere $0.04$ aus $- 0.08 x h$ heraus.

$\frac{0.04 (- h^{2}) + 0.04 (- 2 x h) - 0.04 x^{2} + 0.32 h + 0.32 x - (- 0.04 x^{2} + 0.32 x)}{h}$

Schritt 4.1.1.4

Faktorisiere $0.04$ aus $- 0.04 x^{2}$ heraus.

$\frac{0.04 (- h^{2}) + 0.04 (- 2 x h) + 0.04 (- x^{2}) + 0.32 h + 0.32 x - (- 0.04 x^{2} + 0.32 x)}{h}$

Schritt 4.1.1.5

Faktorisiere $0.04$ aus $0.32 h$ heraus.

$\frac{0.04 (- h^{2}) + 0.04 (- 2 x h) + 0.04 (- x^{2}) + 0.04 (8 h) + 0.32 x - (- 0.04 x^{2} + 0.32 x)}{h}$

Schritt 4.1.1.6

Faktorisiere $0.04$ aus $0.32 x$ heraus.

$\frac{0.04 (- h^{2}) + 0.04 (- 2 x h) + 0.04 (- x^{2}) + 0.04 (8 h) + 0.04 (8 x) - (- 0.04 x^{2} + 0.32 x)}{h}$

Schritt 4.1.1.7

Faktorisiere $0.04$ aus $- (- 0.04 x^{2} + 0.32 x)$ heraus.

$\frac{0.04 (- h^{2}) + 0.04 (- 2 x h) + 0.04 (- x^{2}) + 0.04 (8 h) + 0.04 (8 x) + 0.04 (- 25 (- 0.04 x^{2} + 0.32 x))}{h}$

Schritt 4.1.1.8

Faktorisiere $0.04$ aus $0.04 (- h^{2}) + 0.04 (- 2 x h)$ heraus.

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h) + 0.04 (- x^{2}) + 0.04 (8 h) + 0.04 (8 x) + 0.04 (- 25 (- 0.04 x^{2} + 0.32 x))}{h}$

Schritt 4.1.1.9

Faktorisiere $0.04$ aus $0.04 (- h^{2} - 2 x h) + 0.04 (- x^{2})$ heraus.

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h - x^{2}) + 0.04 (8 h) + 0.04 (8 x) + 0.04 (- 25 (- 0.04 x^{2} + 0.32 x))}{h}$

Schritt 4.1.1.10

Faktorisiere $0.04$ aus $0.04 (- h^{2} - 2 x h - x^{2}) + 0.04 (8 h)$ heraus.

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 8 h) + 0.04 (8 x) + 0.04 (- 25 (- 0.04 x^{2} + 0.32 x))}{h}$

Schritt 4.1.1.11

Faktorisiere $0.04$ aus $0.04 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 8 h) + 0.04 (8 x)$ heraus.

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 8 h + 8 x) + 0.04 (- 25 (- 0.04 x^{2} + 0.32 x))}{h}$

Schritt 4.1.1.12

Faktorisiere $0.04$ aus $0.04 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 8 h + 8 x) + 0.04 (- 25 (- 0.04 x^{2} + 0.32 x))$ heraus.

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 8 h + 8 x - 25 (- 0.04 x^{2} + 0.32 x))}{h}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 8 h + 8 x - 25 (- 0.04 x^{2}) - 25 (0.32 x))}{h}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- 25 (- 0.04 x^{2})$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 0.04$ mit $- 25$ .

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 8 h + 8 x + 1 x^{2} - 25 (0.32 x))}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 8 h + 8 x + x^{2} - 25 (0.32 x))}{h}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $0.32$ mit $- 25$ .

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h - x^{2} + 8 h + 8 x + x^{2} - 8 x)}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h + 8 h + 8 x + 0 - 8 x)}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $- h^{2}$ und $0$ .

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h + 8 h + 8 x - 8 x)}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $8 x$ von $8 x$ .

$\frac{0.04 (- h^{2} - 2 x h + 8 h + 0 x)}{h}$

Schritt 4.1.8

Schreibe $- h^{2} - 2 x h + 8 h + 0 x$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $- h$ aus $- h^{2} - 2 x h$ heraus.

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Schritt 4.1.8.1.1

Stelle $- h^{2}$ und $- 2 x h$ um.

$\frac{0.04 (- 2 x h - h^{2} + 8 h + 0 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.1.2

Faktorisiere $- h$ aus $- 2 x h$ heraus.

$\frac{0.04 (- h (2 x) - h^{2} + 8 h + 0 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.1.3

Faktorisiere $- h$ aus $- h^{2}$ heraus.

$\frac{0.04 (- h (2 x) - h \cdot h + 8 h + 0 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.1.4

Faktorisiere $- h$ aus $- h (2 x) - h \cdot h$ heraus.

$\frac{0.04 (- h (2 x + h) + 8 h + 0 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.2

Faktorisiere $8$ aus $8 h + 0 x$ heraus.

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Schritt 4.1.8.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 h$ heraus.

$\frac{0.04 (- h (2 x + h) + 8 h + 0 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.2.2

Faktorisiere $8$ aus $0 x$ heraus.

$\frac{0.04 (- h (2 x + h) + 8 h + 8 (0 x))}{h}$

Schritt 4.1.8.2.3

Faktorisiere $8$ aus $8 h + 8 (0 x)$ heraus.

$\frac{0.04 (- h (2 x + h) + 8 (h + 0 x))}{h}$

Schritt 4.1.8.3

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{0.04 (- h (2 x + h) + 8 (h + 0))}{h}$

Schritt 4.1.8.4

Addiere $h$ und $0$ .

$\frac{0.04 (- h (2 x + h) + 8 h)}{h}$

Schritt 4.1.8.5

Faktorisiere $h$ aus $- h (2 x + h) + 8 h$ heraus.

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Schritt 4.1.8.5.1

Faktorisiere $h$ aus $- h (2 x + h)$ heraus.

$\frac{0.04 (h (- (2 x + h)) + 8 h)}{h}$

Schritt 4.1.8.5.2

Faktorisiere $h$ aus $8 h$ heraus.

$\frac{0.04 (h (- (2 x + h)) + h \cdot 8)}{h}$

Schritt 4.1.8.5.3

Faktorisiere $h$ aus $h (- (2 x + h)) + h \cdot 8$ heraus.

$\frac{0.04 (h (- (2 x + h) + 8))}{h}$

Schritt 4.1.8.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0.04 (h (- (2 x) - h + 8))}{h}$

Schritt 4.1.8.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{0.04 (h (- 2 x - h + 8))}{h}$

$\frac{0.04 h (- 2 x - h + 8)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.04 h (- 2 x - h + 8)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $0.04 (- 2 x - h + 8)$ durch $1$ .

$0.04 (- 2 x - h + 8)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$0.04 (- 2 x) + 0.04 (- h) + 0.04 \cdot 8$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.04$ .

$- 0.08 x + 0.04 (- h) + 0.04 \cdot 8$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.04$ .

$- 0.08 x - 0.04 h + 0.04 \cdot 8$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $0.04$ mit $8$ .

$- 0.08 x - 0.04 h + 0.32$

Schritt 5