Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \cot (x)$ als Gleichung.

$y = \cot (x)$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (\frac{π}{2}) - f (\frac{π}{3})}{(\frac{π}{2}) - (\frac{π}{3})}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \cot (x)$ für $f (\frac{π}{2})$ und $f (\frac{π}{3})$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\cot (\frac{π}{2})) - (\cot (\frac{π}{3}))}{(\frac{π}{2}) - (\frac{π}{3})}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $6$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3})}{\frac{π}{2} - \frac{π}{3}}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3})}{\frac{π}{2} - \frac{π}{3}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{6 (\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3}))}{6 (\frac{π}{2} - \frac{π}{3})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{6 \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{2 (3) \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{2 \cdot 3 \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 6 (- \frac{π}{3})}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{3}$ in den Zähler.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 6 \frac{- π}{3}}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 3 (2) \frac{- π}{3}}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 3 \cdot 2 \frac{- π}{3}}$

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 2 (- π)}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))$ heraus.

$\frac{6 (\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.3

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - \frac{1}{\sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.6

Subtrahiere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ von $0$ .

$\frac{6 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.7.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (6 \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.7.2

Kombiniere $6$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- \frac{6 \sqrt{3}}{3}}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 3.4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3}}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 (1)}}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{1}}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.8.2.4

Dividiere $2 \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\frac{- (2 \sqrt{3})}{3 π - 2 π}$

$\frac{- 1 \cdot 2 \sqrt{3}}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{3 π - 2 π}$

Schritt 3.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $3 π$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{π}$

Schritt 3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{π}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2 \sqrt{3}}{π}$

Dezimalform:

$- 1.10265779 \dots$