Elementarmathematik Beispiele

$P (x) = x^{3} - 13 x + 12$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$P (x + h) = {(x + h)}^{3} - 13 (x + h) + 12$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$P (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 13 (x + h) + 12$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$P (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 13 x - 13 h + 12$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 13 x - 13 h + 12$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 13 x - 13 h + 12$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 13 x - 13 h + 12$

Schritt 2.2.2

Bewege $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 13 x - 13 h + 12$

Schritt 2.2.3

Bewege $- 13 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 13 h - 13 x + 12$

Schritt 2.2.4

Bewege $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 13 h - 13 x + 12$

Schritt 2.2.5

Bewege $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 13 h - 13 x + 12$

Schritt 2.2.6

Stelle $3 h^{2} x$ und $h^{3}$ um.

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 13 h - 13 x + 12$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$P (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 13 h - 13 x + 12$

$P (x) = x^{3} - 13 x + 12$

$P (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 13 h - 13 x + 12$

$P (x) = x^{3} - 13 x + 12$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{P (x + h) - P x}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 13 h - 13 x + 12 - (x^{3} - 13 x + 12)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 13 h - 13 x + 12 - x^{3} - (- 13 x) - 1 \cdot 12}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 13$ mit $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 13 h - 13 x + 12 - x^{3} + 13 x - 1 \cdot 12}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 13 h - 13 x + 12 - x^{3} + 13 x - 12}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 13 h - 13 x + 12 + 0 + 13 x - 12}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $h^{3}$ und $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 13 h - 13 x + 12 + 13 x - 12}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- 13 x$ und $13 x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 13 h + 0 + 12 - 12}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $h^{3}$ und $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 13 h + 12 - 12}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 13 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 13 h$ und $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 13 h}{h}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $h$ aus $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 13 h$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{3}$ heraus.

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 13 h}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $3 h^{2} x$ heraus.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 13 h}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $3 h x^{2}$ heraus.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 13 h}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $- 13 h$ heraus.

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 13}{h}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2}) + h (3 h x)$ heraus.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 13}{h}$

Schritt 4.1.9.6

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ heraus.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 13}{h}$

Schritt 4.1.9.7

Faktorisiere $h$ aus $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 13$ heraus.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 13)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 13)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 13$ durch $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 13$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 13$

Schritt 4.2.2.2

Bewege $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 13$

Schritt 4.2.2.3

Stelle $3 x h$ und $3 x^{2}$ um.

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 13$

Schritt 5