Elementarmathematik Beispiele

$y = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Schritt 1

Schreibe $y = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$ als Funktion.

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 0.03 {(x + h)}^{2} + 11 (x + h) + 1$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 0.03 ((x + h) (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Schritt 3.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 0.03 (x (x + h) + h (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 0.03 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 11 (x + h) + 1$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 0.03 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 11 (x + h) + 1$

Schritt 3.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 11 (x + h) + 1$

Schritt 3.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 3.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Schritt 3.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 0.03 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 11 (x + h) + 1$

Schritt 3.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.03 (2 h x) + 0.03 h^{2} + 11 (x + h) + 1$

Schritt 3.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0.03$ .

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.06 (h x) + 0.03 h^{2} + 11 (x + h) + 1$

Schritt 3.1.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$ .

$0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 x + 11 h + 1$

Schritt 3.2

Stelle um.

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Schritt 3.2.1

Bewege $11 x$ .

$0.03 x^{2} + 0.06 h x + 0.03 h^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Schritt 3.2.2

Bewege $0.03 x^{2}$ .

$0.06 h x + 0.03 h^{2} + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Schritt 3.2.3

Stelle $0.06 h x$ und $0.03 h^{2}$ um.

$0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

Schritt 3.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

$f (x + h) = 0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1$

$f (x) = 0.03 x^{2} + 11 x + 1$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $0.01$ aus $0.03 h^{2} + 0.06 h x + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)$ heraus.

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Schritt 5.1.1.1

Bewege $h$ .

$\frac{0.03 h^{2} + 0.06 x h + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere $0.01$ aus $0.03 h^{2}$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.06 x h + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere $0.01$ aus $0.06 x h$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.03 x^{2} + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Schritt 5.1.1.4

Faktorisiere $0.01$ aus $0.03 x^{2}$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 11 h + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Schritt 5.1.1.5

Faktorisiere $0.01$ aus $11 h$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 11 x + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Schritt 5.1.1.6

Faktorisiere $0.01$ aus $11 x$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 1 - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Schritt 5.1.1.7

Faktorisiere $0.01$ aus $1$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) - (0.03 x^{2} + 11 x + 1)}{h}$

Schritt 5.1.1.8

Faktorisiere $0.01$ aus $- (0.03 x^{2} + 11 x + 1)$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Schritt 5.1.1.9

Faktorisiere $0.01$ aus $0.01 (3 h^{2}) + 0.01 (6 x h)$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h) + 0.01 (3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Schritt 5.1.1.10

Faktorisiere $0.01$ aus $0.01 (3 h^{2} + 6 x h) + 0.01 (3 x^{2})$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2}) + 0.01 (1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Schritt 5.1.1.11

Faktorisiere $0.01$ aus $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2}) + 0.01 (1100 h)$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h) + 0.01 (1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Schritt 5.1.1.12

Faktorisiere $0.01$ aus $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h) + 0.01 (1100 x)$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x) + 0.01 (100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Schritt 5.1.1.13

Faktorisiere $0.01$ aus $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x) + 0.01 (100)$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Schritt 5.1.1.14

Faktorisiere $0.01$ aus $0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100) + 0.01 (- 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 100 (0.03 x^{2} + 11 x + 1))}{h}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 100 (0.03 x^{2}) - 100 (11 x) - 100 \cdot 1)}{h}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $0.03$ mit $- 100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 100 (11 x) - 100 \cdot 1)}{h}$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $11$ mit $- 100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 1100 x - 100 \cdot 1)}{h}$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $- 100$ mit $1$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 3 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 3 x^{2} - 1100 x - 100)}{h}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 1100 x + 100 - 1100 x - 100)}{h}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $1100 x$ von $1100 x$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 0 + 100 - 100)}{h}$

Schritt 5.1.6

Addiere $3 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 100 - 100)}{h}$

Schritt 5.1.7

Subtrahiere $100$ von $100$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h + 0)}{h}$

Schritt 5.1.8

Addiere $3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h$ und $0$ .

$\frac{0.01 (3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Schritt 5.1.9

Schreibe $3 h^{2} + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.9.1

Faktorisiere $3 h$ aus $3 h^{2} + 6 x h$ heraus.

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Schritt 5.1.9.1.1

Faktorisiere $3 h$ aus $3 h^{2}$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h \cdot h + 6 x h + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Schritt 5.1.9.1.2

Faktorisiere $3 h$ aus $6 x h$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Schritt 5.1.9.1.3

Faktorisiere $3 h$ aus $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 0 x^{2} + 1100 h)}{h}$

Schritt 5.1.9.2

Faktorisiere $1100$ aus $0 x^{2} + 1100 h$ heraus.

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Schritt 5.1.9.2.1

Faktorisiere $1100$ aus $0 x^{2}$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2}) + 1100 h)}{h}$

Schritt 5.1.9.2.2

Faktorisiere $1100$ aus $1100 h$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2}) + 1100 h)}{h}$

Schritt 5.1.9.2.3

Faktorisiere $1100$ aus $1100 (0 x^{2}) + 1100 h$ heraus.

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 x^{2} + h))}{h}$

Schritt 5.1.9.3

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 (0 + h))}{h}$

Schritt 5.1.9.4

Addiere $0$ und $h$ .

$\frac{0.01 (3 h (h + 2 x) + 1100 h)}{h}$

Schritt 5.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $3 h (h + 2 x) + 1100 h$ heraus.

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Schritt 5.1.9.5.1

Faktorisiere $h$ aus $3 h (h + 2 x)$ heraus.

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x)) + 1100 h)}{h}$

Schritt 5.1.9.5.2

Faktorisiere $h$ aus $1100 h$ heraus.

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x)) + h \cdot 1100)}{h}$

Schritt 5.1.9.5.3

Faktorisiere $h$ aus $h (3 (h + 2 x)) + h \cdot 1100$ heraus.

$\frac{0.01 (h (3 (h + 2 x) + 1100))}{h}$

Schritt 5.1.9.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0.01 (h (3 h + 3 (2 x) + 1100))}{h}$

Schritt 5.1.9.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{0.01 (h (3 h + 6 x + 1100))}{h}$

$\frac{0.01 h (3 h + 6 x + 1100)}{h}$

Schritt 5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.01 h (3 h + 6 x + 1100)}{h}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $0.01 (3 h + 6 x + 1100)$ durch $1$ .

$0.01 (3 h + 6 x + 1100)$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$0.01 (3 h) + 0.01 (6 x) + 0.01 \cdot 1100$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0.01$ .

$0.03 h + 0.01 (6 x) + 0.01 \cdot 1100$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $0.01$ .

$0.03 h + 0.06 x + 0.01 \cdot 1100$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $0.01$ mit $1100$ .

$0.03 h + 0.06 x + 11$

Schritt 5.4

Stelle $0.03 h$ und $0.06 x$ um.

$0.06 x + 0.03 h + 11$

Schritt 6