Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 4 e^{2 (x + h)} - 1$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $4 e^{2 x + 2 h} - 1$ .

$4 e^{2 x + 2 h} - 1$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

$f (x + h) = 4 e^{2 x + 2 h} - 1$

$f (x) = 4 e^{2 x} - 1$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - (4 e^{2 x} - 1)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - (4 e^{2 x}) - - 1}{h}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - 4 e^{2 x} - - 1}{h}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 1 - 4 e^{2 x} + 1}{h}$

Schritt 4.4

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} + 0 - 4 e^{2 x}}{h}$

Schritt 4.5

Addiere $4 e^{2 x + 2 h}$ und $0$ .

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}}{h}$

Schritt 4.6

Schreibe $4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{2 x + 2 h}$ heraus.

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} - 4 e^{2 x}}{h}$

Schritt 4.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 e^{2 x}$ heraus.

$\frac{4 e^{2 x + 2 h} + 4 (- e^{2 x})}{h}$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{2 x + 2 h} + 4 (- e^{2 x})$ heraus.

$\frac{4 (e^{2 x + 2 h} - e^{2 x})}{h}$

Schritt 4.6.2

Schreibe $e^{2 x + 2 h}$ als ${(e^{x + h})}^{2}$ um.

$\frac{4 ({(e^{x + h})}^{2} - e^{2 x})}{h}$

Schritt 4.6.3

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

$\frac{4 ({(e^{x + h})}^{2} - {(e^{x})}^{2})}{h}$

Schritt 4.6.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{x + h}$ und $b = e^{x}$ .

$\frac{4 (e^{x + h} + e^{x}) (e^{x + h} - e^{x})}{h}$

Schritt 5