Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $[4, 9]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (9) - f (4)}{(9) - (4)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ für $f (9)$ und $f (4)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\frac{1}{\sqrt{9}}) - (\frac{1}{\sqrt{4}})}{(9) - (4)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $\sqrt{9} \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{4}}}{9 - (4)}$ mit $\frac{\sqrt{9} \sqrt{4}}{\sqrt{9} \sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4}}{\sqrt{9} \sqrt{4}} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{4}}}{9 - (4)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4} (\frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} (9 - (4))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4} \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{9}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $\sqrt{9}$ aus $\sqrt{9} \sqrt{4}$ heraus.

$\frac{\sqrt{9} (\sqrt{4}) \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{9} \sqrt{4} \frac{1}{\sqrt{9}} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{9} \sqrt{4} (- \frac{1}{\sqrt{4}})}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{4}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\sqrt{4}}$ in den Zähler.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{9} \sqrt{4} \frac{- 1}{\sqrt{4}}}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $\sqrt{4}$ aus $\sqrt{9} \sqrt{4}$ heraus.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{4} \sqrt{9} \frac{- 1}{\sqrt{4}}}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{4} \sqrt{9} \frac{- 1}{\sqrt{4}}}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 + \sqrt{9} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.4.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2 + \sqrt{3^{2}} \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 + 3 \cdot - 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 3}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.4.6

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{- 1}{\sqrt{9} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{- 1}{\sqrt{3^{2}} \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 1}{3 \sqrt{4} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.5.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 1}{3 \sqrt{2^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 1}{3 \cdot 2 \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.5.5

Multipliziere $3 \cdot 2 \cdot 9$ .

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Schritt 3.5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 1}{6 \cdot 9 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.5.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$\frac{- 1}{54 + \sqrt{9} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.5.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{- 1}{54 + \sqrt{3^{2}} \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.5.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 1}{54 + 3 \sqrt{4} (- (4))}$

Schritt 3.5.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 1}{54 + 3 \sqrt{2^{2}} (- (4))}$

Schritt 3.5.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 1}{54 + 3 \cdot 2 (- (4))}$

Schritt 3.5.10

Multipliziere $3 \cdot 2 (- (4))$ .

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Schritt 3.5.10.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 1}{54 + 6 (- (4))}$

Schritt 3.5.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 1}{54 + 6 \cdot - 4}$

Schritt 3.5.10.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$\frac{- 1}{54 - 24}$

Schritt 3.5.11

Subtrahiere $24$ von $54$ .

$\frac{- 1}{30}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{30}$