Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}]$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \cot (x)$ als Gleichung.

$y = \cot (x)$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (\frac{5 π}{4}) - f (\frac{3 π}{4})}{(\frac{5 π}{4}) - (\frac{3 π}{4})}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = \cot (x)$ für $f (\frac{5 π}{4})$ und $f (\frac{3 π}{4})$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(\cot (\frac{5 π}{4})) - (\cot (\frac{3 π}{4}))}{(\frac{5 π}{4}) - (\frac{3 π}{4})}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $4$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4})}{\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4}}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4})}{\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4}}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{4 (\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 (\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 \frac{5 π}{4} + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 \frac{5 π}{4} + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 π}{4}$ in den Zähler.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 \frac{- 3 π}{4}}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 \frac{- 3 π}{4}}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))$ heraus.

$\frac{4 (\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Schritt 3.4.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{4 (\cot (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Schritt 3.4.3

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{4 (1 - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Schritt 3.4.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kotangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{4 (1 - - \cot (\frac{π}{4}))}{5 π - 3 π}$

Schritt 3.4.5

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{4 (1 - (- 1 \cdot 1))}{5 π - 3 π}$

Schritt 3.4.6

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 3.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 (1 - - 1)}{5 π - 3 π}$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (1 + 1)}{5 π - 3 π}$

Schritt 3.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \cdot 2}{5 π - 3 π}$

Schritt 3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $3 π$ von $5 π$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2 π}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8}{2 π}$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 π}$

Schritt 3.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (π)}$

Schritt 3.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 π}$

Schritt 3.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{π}$