Elementarmathematik Beispiele

$y = 2 x e^{3 x}$

Schritt 1

Schreibe $y = 2 x e^{3 x}$ als Funktion.

$f (x) = 2 x e^{3 x}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 2 (x + h) \cdot e^{3 (x + h)}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = (2 x + 2 h) \cdot e^{3 (x + h)}$

Schritt 3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = (2 x + 2 h) \cdot e^{3 x + 3 h}$

Schritt 3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 x e^{3 x + 3 h} + 2 h e^{3 x + 3 h}$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $2 x e^{3 x + 3 h} + 2 h e^{3 x + 3 h}$ .

$2 x e^{3 x + 3 h} + 2 h e^{3 x + 3 h}$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 2 x e^{3 x + 3 h} + 2 h e^{3 x + 3 h}$

$f (x) = 2 x e^{3 x}$

$f (x + h) = 2 x e^{3 x + 3 h} + 2 h e^{3 x + 3 h}$

$f (x) = 2 x e^{3 x}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 x e^{3 x + 3 h} + 2 h e^{3 x + 3 h} - (2 x e^{3 x})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x e^{3 x + 3 h} + 2 h e^{3 x + 3 h} - 2 x e^{3 x}}{h}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x e^{3 x + 3 h} + 2 h e^{3 x + 3 h} - 2 x e^{3 x}$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x e^{3 x + 3 h}$ heraus.

$\frac{2 (x e^{3 x + 3 h}) + 2 h e^{3 x + 3 h} - 2 x e^{3 x}}{h}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 h e^{3 x + 3 h}$ heraus.

$\frac{2 (x e^{3 x + 3 h}) + 2 (h e^{3 x + 3 h}) - 2 x e^{3 x}}{h}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x e^{3 x}$ heraus.

$\frac{2 (x e^{3 x + 3 h}) + 2 (h e^{3 x + 3 h}) + 2 (- x e^{3 x})}{h}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x e^{3 x + 3 h}) + 2 (h e^{3 x + 3 h})$ heraus.

$\frac{2 (x e^{3 x + 3 h} + h e^{3 x + 3 h}) + 2 (- x e^{3 x})}{h}$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x e^{3 x + 3 h} + h e^{3 x + 3 h}) + 2 (- x e^{3 x})$ heraus.

$\frac{2 (x e^{3 x + 3 h} + h e^{3 x + 3 h} - x e^{3 x})}{h}$

Schritt 6