Elementarmathematik Beispiele

$\frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h) - f \cdot 1}{(x + h) - 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.1

Faktorisiere $f$ aus $f (x + h) - f \cdot 1$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Faktorisiere $f$ aus $- f \cdot 1$ heraus.

$f (x + h) = \frac{f (x + h) + f (- 1 \cdot 1)}{x + h - 1}$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Faktorisiere $f$ aus $f (x + h) + f (- 1 \cdot 1)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{f (x + h - 1 \cdot 1)}{x + h - 1}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (x + h) = \frac{f (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + h - 1$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x + h) = \frac{f (x + h - 1)}{x + h - 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Dividiere $f$ durch $1$ .

$f (x + h) = f$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $f$ .

$f$

Schritt 3.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = f$

$f (x) = \frac{f (x) - f}{x - 1}$

$f (x + h) = f$

$f (x) = \frac{f (x) - f}{x - 1}$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{f - (\frac{f (x) - f}{x - 1})}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Um $f$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{f (x - 1)}{x - 1} - \frac{f (x) - f}{x - 1}}{h}$

Schritt 5.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{f (x - 1) - (f (x) - f)}{x - 1}}{h}$

Schritt 5.1.3

Schreibe $\frac{f (x - 1) - (f (x) - f)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{f x + f \cdot - 1 - (f (x) - f)}{x - 1}}{h}$

Schritt 5.1.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $f$ .

$\frac{\frac{f x - 1 \cdot f - (f (x) - f)}{x - 1}}{h}$

Schritt 5.1.3.3

Schreibe $- 1 f$ als $- f$ um.

$\frac{\frac{f x - f - (f (x) - f)}{x - 1}}{h}$

Schritt 5.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{f x - f - f (x) - - f}{x - 1}}{h}$

Schritt 5.1.3.5

Multipliziere $- - f$ .

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Schritt 5.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{f x - f - f (x) + 1 f}{x - 1}}{h}$

Schritt 5.1.3.5.2

Mutltipliziere $f$ mit $1$ .

$\frac{\frac{f x - f - f (x) + f}{x - 1}}{h}$

Schritt 5.1.3.6

Addiere $- f$ und $f$ .

$\frac{\frac{f x + 0 - f (x)}{x - 1}}{h}$

Schritt 5.1.3.7

Addiere $f x$ und $0$ .

$\frac{\frac{f x - f (x)}{x - 1}}{h}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{f x - f (x)}{x - 1} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{f x - f (x)}{x - 1}$ mit $\frac{1}{h}$ .

$\frac{f x - f (x)}{(x - 1) h}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $\frac{f x - f (x)}{(x - 1) h}$ um.

$\frac{f x - f (x)}{h (x - 1)}$

Schritt 6