Elementarmathematik Beispiele

$f (t) = \frac{95 t}{99 t - 95}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = t + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $t + h$ .

$f (t + h) = \frac{95 (t + h)}{99 (t + h) - 95}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (t + h) = \frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$ .

$\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (t + h) = \frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$

$f (t) = \frac{95 t}{99 t - 95}$

$f (t + h) = \frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$

$f (t) = \frac{95 t}{99 t - 95}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95} - (\frac{95 t}{99 t - 95})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{99 t - 95}{99 t - 95}$ .

$\frac{\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95} \cdot \frac{99 t - 95}{99 t - 95} - \frac{95 t}{99 t - 95}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{95 t}{99 t - 95}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{99 t + 99 h - 95}{99 t + 99 h - 95}$ .

$\frac{\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95} \cdot \frac{99 t - 95}{99 t - 95} - \frac{95 t}{99 t - 95} \cdot \frac{99 t + 99 h - 95}{99 t + 99 h - 95}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{95 (t + h)}{99 t + 99 h - 95}$ mit $\frac{99 t - 95}{99 t - 95}$ .

$\frac{\frac{95 (t + h) (99 t - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} - \frac{95 t}{99 t - 95} \cdot \frac{99 t + 99 h - 95}{99 t + 99 h - 95}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{95 t}{99 t - 95}$ mit $\frac{99 t + 99 h - 95}{99 t + 99 h - 95}$ .

$\frac{\frac{95 (t + h) (99 t - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} - \frac{95 t (99 t + 99 h - 95)}{(99 t - 95) (99 t + 99 h - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(99 t - 95) (99 t + 99 h - 95)$ um.

$\frac{\frac{95 (t + h) (99 t - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} - \frac{95 t (99 t + 99 h - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{95 (t + h) (99 t - 95) - 95 t (99 t + 99 h - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{95 (t + h) (99 t - 95) - 95 t (99 t + 99 h - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $95$ aus $95 (t + h) (99 t - 95) - 95 t (99 t + 99 h - 95)$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $95$ aus $95 (t + h) (99 t - 95)$ heraus.

$\frac{\frac{95 ((t + h) (99 t - 95)) - 95 t (99 t + 99 h - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $95$ aus $- 95 t (99 t + 99 h - 95)$ heraus.

$\frac{\frac{95 ((t + h) (99 t - 95)) + 95 (- t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.3

Faktorisiere $95$ aus $95 ((t + h) (99 t - 95)) + 95 (- t (99 t + 99 h - 95))$ heraus.

$\frac{\frac{95 ((t + h) (99 t - 95) - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Multipliziere $(t + h) (99 t - 95)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{95 (t (99 t - 95) + h (99 t - 95) - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{95 (t (99 t) + t \cdot - 95 + h (99 t - 95) - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{95 (t (99 t) + t \cdot - 95 + h (99 t) + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{95 (99 t \cdot t + t \cdot - 95 + h (99 t) + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.3.2.1

Bewege $t$ .

$\frac{\frac{95 (99 (t \cdot t) + t \cdot - 95 + h (99 t) + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} + t \cdot - 95 + h (99 t) + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.3

Bringe $- 95$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 \cdot t + h (99 t) + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t + h \cdot - 95 - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.5

Bringe $- 95$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - t (99 t + 99 h - 95))}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - t (99 t) - t (99 h) - t \cdot - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 1 \cdot 99 t \cdot t - t (99 h) - t \cdot - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 1 \cdot 99 t \cdot t - 1 \cdot 99 t h - t \cdot - 95)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.3

Mutltipliziere $- 95$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 1 \cdot 99 t \cdot t - 1 \cdot 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.6.1

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.6.1.1

Bewege $t$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 1 \cdot 99 (t \cdot t) - 1 \cdot 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 1 \cdot 99 t^{2} - 1 \cdot 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $99$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 99 t^{2} - 1 \cdot 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $99$ .

$\frac{\frac{95 (99 t^{2} - 95 t + 99 h t - 95 h - 99 t^{2} - 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Subtrahiere $99 t^{2}$ von $99 t^{2}$ .

$\frac{\frac{95 (- 95 t + 99 h t - 95 h + 0 - 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Addiere $- 95 t$ und $0$ .

$\frac{\frac{95 (- 95 t + 99 h t - 95 h - 99 t h + 95 t)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Addiere $- 95 t$ und $95 t$ .

$\frac{\frac{95 (99 h t - 95 h - 99 t h + 0)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Addiere $99 h t - 95 h - 99 t h$ und $0$ .

$\frac{\frac{95 (99 h t - 95 h - 99 t h)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11

Subtrahiere $99 t h$ von $99 h t$ .

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Schritt 4.1.5.11.1

Bewege $h$ .

$\frac{\frac{95 (- 95 h + 99 t h - 99 t h)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11.2

Subtrahiere $99 t h$ von $99 t h$ .

$\frac{\frac{95 (- 95 h + 0)}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12

Addiere $- 95 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{95 \cdot - 95 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.5.13

Mutltipliziere $95$ mit $- 95$ .

$\frac{\frac{- 9025 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{9025 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{9025 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9025 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}$ in den Zähler.

$\frac{- 9025 h}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 9025 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 9025}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 9025}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 9025}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9025}{(99 t + 99 h - 95) (99 t - 95)}$

Schritt 5