Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 1$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} - 1$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} - 1$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 1$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 1$

Schritt 3.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 1$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 1$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 1$

Schritt 3.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 1$

Schritt 3.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 1$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 3.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 1$

Schritt 3.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 1$

Schritt 3.2

Stelle um.

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Schritt 3.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 1$

Schritt 3.2.2

Stelle $2 h x$ und $h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

Schritt 3.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

$f (x) = x^{2} - 1$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1$

$f (x) = x^{2} - 1$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - (x^{2} - 1)}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - x^{2} - - 1}{h}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 1 - x^{2} + 1}{h}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 0 - 1 + 1}{h}$

Schritt 5.1.4

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x - 1 + 1}{h}$

Schritt 5.1.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Schritt 5.1.6

Addiere $h^{2} + 2 h x$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Schritt 5.1.7

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} + 2 h x$ heraus.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$\frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Schritt 5.1.7.2

Faktorisiere $h$ aus $2 h x$ heraus.

$\frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Schritt 5.1.7.3

Faktorisiere $h$ aus $h (h) + h (2 x)$ heraus.

$\frac{h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $h + 2 x$ durch $1$ .

$h + 2 x$

Schritt 5.2.2

Stelle $h$ und $2 x$ um.

$2 x + h$

Schritt 6