Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 {(x - 2)}^{2} + 1$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {((x + h) - 2)}^{2} + 1$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h - 2)}^{2}$ als $(x + h - 2) (x + h - 2)$ um.

$f (x + h) = 2 ((x + h - 2) (x + h - 2)) + 1$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h - 2) (x + h - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + x \cdot - 2 + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Schritt 2.1.2.1.3.3

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} + h \cdot - 2 - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Schritt 2.1.2.1.3.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 \cdot h - 2 x - 2 h - 2 \cdot - 2) + 1$

Schritt 2.1.2.1.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h - 2 x + h x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Schritt 2.1.2.1.4

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x - 2 x + h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 4) + 1$

Schritt 2.1.2.1.5

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 4) + 1$

Schritt 2.1.2.1.6

Subtrahiere $2 h$ von $- 2 h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 4 h - 4 x + 4) + 1$

Schritt 2.1.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Schritt 2.1.2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} + 2 (- 4 h) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Schritt 2.1.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 + 1$

Schritt 2.1.2.1.8.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 2 \cdot 4 + 1$

Schritt 2.1.2.1.8.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 8 + 1$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $8$ und $1$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Schritt 2.2.2

Stelle $4 h x$ und $2 h^{2}$ um.

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9$

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 9$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2} - 8 x + 9)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - (2 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} - (- 8 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 9}{h}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} - 8 h - 8 x + 9 - 2 x^{2} + 8 x - 9}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 0 + 8 x - 9}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $2 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h - 8 x + 9 + 8 x - 9}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- 8 x$ und $8 x$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $2 h^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 9 - 9}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ und $0$ .

$\frac{2 h^{2} + 4 h x - 8 h}{h}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h^{2} + 4 h x - 8 h$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h^{2}$ heraus.

$\frac{2 h \cdot h + 4 h x - 8 h}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $2 h$ aus $4 h x$ heraus.

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) - 8 h}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere $2 h$ aus $- 8 h$ heraus.

$\frac{2 h \cdot h + 2 h (2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h \cdot h + 2 h (2 x)$ heraus.

$\frac{2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4}{h}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere $2 h$ aus $2 h (h + 2 x) + 2 h \cdot - 4$ heraus.

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 h (h + 2 x - 4)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $2 (h + 2 x - 4)$ durch $1$ .

$2 (h + 2 x - 4)$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 h + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 h + 4 x + 2 \cdot - 4$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$2 h + 4 x - 8$

Schritt 4.4

Stelle $2 h$ und $4 x$ um.

$4 x + 2 h - 8$

Schritt 5