Elementarmathematik Beispiele

$y + \frac{2}{5} x = 4$

Schritt 1

Schreibe $y = 4 - \frac{2 x}{5}$ als Funktion.

$f (x) = 4 - \frac{2 x}{5}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x$ .

$y + \frac{2 x}{5} = 4$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\frac{2 x}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4 - \frac{2 x}{5}$

Schritt 3

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 4

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 4.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 4 - \frac{2 (x + h)}{5}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (x + h) = 4 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 (x + h)}{5}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (x + h) = \frac{4 \cdot 5}{5} - \frac{2 (x + h)}{5}$

Schritt 4.1.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x + h) = \frac{4 \cdot 5 - 2 (x + h)}{5}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \cdot 5 - 2 (x + h)$ heraus.

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Schritt 4.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \cdot 5$ heraus.

$f (x + h) = \frac{2 (2 \cdot 5) - 2 (x + h)}{5}$

Schritt 4.1.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (x + h)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{2 (2 \cdot 5) + 2 (- (x + h))}{5}$

Schritt 4.1.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 \cdot 5) + 2 (- (x + h))$ heraus.

$f (x + h) = \frac{2 (2 \cdot 5 - (x + h))}{5}$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (x + h) = \frac{2 (10 - (x + h))}{5}$

Schritt 4.1.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{2 (10 - x - h)}{5}$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 (10 - x - h)}{5}$ .

$\frac{2 (10 - x - h)}{5}$

Schritt 4.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{2 (10 - x - h)}{5}$

$f (x) = 4 - \frac{2 x}{5}$

$f (x + h) = \frac{2 (10 - x - h)}{5}$

$f (x) = 4 - \frac{2 x}{5}$

Schritt 5

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (10 - x - h)}{5} - (4 - \frac{2 x}{5})}{h}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (10 - x - h)}{5} - 1 \cdot 4 - - \frac{2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\frac{2 (10 - x - h)}{5} - 4 - - \frac{2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere $- - \frac{2 x}{5}$ .

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Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (10 - x - h)}{5} - 4 + 1 \frac{2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2 x}{5}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 (10 - x - h)}{5} - 4 + \frac{2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.4

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2 (10 - x - h)}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.5

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2 (10 - x - h)}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5} + \frac{2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 (10 - x - h) - 4 \cdot 5}{5} + \frac{2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 (10 - x - h) - 4 \cdot 5 + 2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 \cdot 10 + 2 (- x) + 2 (- h) - 4 \cdot 5 + 2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.8.2

Vereinfache.

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Schritt 6.1.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{\frac{20 + 2 (- x) + 2 (- h) - 4 \cdot 5 + 2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{20 - 2 x + 2 (- h) - 4 \cdot 5 + 2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.8.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{20 - 2 x - 2 h - 4 \cdot 5 + 2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.8.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$\frac{\frac{20 - 2 x - 2 h - 20 + 2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.9

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $20 - 2 x - 2 h - 20 + 2 x$ .

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Schritt 6.1.9.1

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 2 h + 0 + 2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.9.2

Addiere $- 2 x - 2 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 2 x - 2 h + 2 x}{5}}{h}$

Schritt 6.1.9.3

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{\frac{- 2 h + 0}{5}}{h}$

Schritt 6.1.9.4

Addiere $- 2 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{- 2 h}{5}}{h}$

Schritt 6.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{2 h}{5}}{h}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{2 h}{5} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 6.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 h}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 2 h}{5} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 2}{5} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 2}{5} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 6.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{5}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{5}$

Schritt 7