Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) - 2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{x + h - 2}$ .

$\frac{3}{x + h - 2}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

$f (x + h) = \frac{3}{x + h - 2}$

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{x + h - 2} - (\frac{3}{x - 2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{3}{x + h - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x + h - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3}{x - 2}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{3}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h - 2}{x + h - 2}$ .

$\frac{\frac{3}{x + h - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x + h - 2}{x + h - 2}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h - 2) (x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x + h - 2}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{x + h - 2}{x + h - 2}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x - 2}$ mit $\frac{x + h - 2}{x + h - 2}$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3 (x + h - 2)}{(x - 2) (x + h - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + h - 2)$ um.

$\frac{\frac{3 (x - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)} - \frac{3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - 2) - 3 (x + h - 2)$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 (x + h - 2)$ heraus.

$\frac{\frac{3 (x - 2) + 3 (- (x + h - 2))}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - 2) + 3 (- (x + h - 2))$ heraus.

$\frac{\frac{3 (x - 2 - (x + h - 2))}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 (x - 2 - x - h - - 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{\frac{3 (x - 2 - x - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{\frac{3 (0 - 2 - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{\frac{3 (- 2 - h + 2)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{\frac{3 (- h + 0)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Addiere $- h$ und $0$ .

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.5.8.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{\frac{- (3 h)}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 h}{(x + h - 2) (x - 2)}$ in den Zähler.

$\frac{- 3 h}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{(x + h - 2) (x - 2)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{(x + h - 2) (x - 2)}$

Schritt 5