Elementarmathematik Beispiele

Given the function $g (x) = - x^{2} + x + 5$ , determine the average rate of change of the function over the interval $- 4 \leq x \leq 3$

Schritt 1

Schreibe $g (x) = - x^{2} + x + 5$ als Gleichung.

$y = - x^{2} + x + 5$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (3) - f (- 4)}{(3) - (- 4)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = - x^{2} + x + 5$ für $f (3)$ und $f (- 4)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{- {(3)}^{2} + 3 + 5 - (- {(- 4)}^{2} - 4 + 5)}{(3) - (- 4)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Entferne die Klammern.

$\frac{- {(3)}^{2} + 3 + 5 - (- {(- 4)}^{2} - 4 + 5)}{(3) - (- 4)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 9 + 3 + 5 - (- {(- 4)}^{2} - 4 + 5)}{3 - (- 4)}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 - (- {(- 4)}^{2} - 4 + 5)}{3 - (- 4)}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 - (- 1 \cdot 16 - 4 + 5)}{3 - (- 4)}$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 - (- 16 - 4 + 5)}{3 - (- 4)}$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $4$ von $- 16$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 - (- 20 + 5)}{3 - (- 4)}$

Schritt 3.2.5

Addiere $- 20$ und $5$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 - - 15}{3 - (- 4)}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 15$ .

$\frac{- 9 + 3 + 5 + 15}{3 - (- 4)}$

Schritt 3.2.7

Addiere $- 9$ und $3$ .

$\frac{- 6 + 5 + 15}{3 - (- 4)}$

Schritt 3.2.8

Addiere $- 6$ und $5$ .

$\frac{- 1 + 15}{3 - (- 4)}$

Schritt 3.2.9

Addiere $- 1$ und $15$ .

$\frac{14}{3 - (- 4)}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{14}{3 + 4}$

Schritt 3.3.2

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{14}{7}$

Schritt 3.4

Dividiere $14$ durch $7$ .

$2$