Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \ln (3 x) + 2.5$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \ln (3 (x + h)) + 2.5$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \ln (3 x + 3 h) + 2.5$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\ln (3 x + 3 h) + 2.5$ .

$\ln (3 x + 3 h) + 2.5$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \ln (3 x + 3 h) + 2.5$

$f (x) = \ln (3 x) + 2.5$

$f (x + h) = \ln (3 x + 3 h) + 2.5$

$f (x) = \ln (3 x) + 2.5$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\ln (3 x + 3 h) + 2.5 - (\ln (3 x) + 2.5)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (3 x + 3 h) + 2.5 - \ln (3 x) - 1 \cdot 2.5}{h}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.5$ .

$\frac{\ln (3 x + 3 h) + 2.5 - \ln (3 x) - 2.5}{h}$

Schritt 4.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x}) + 2.5 - 2.5}{h}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $2.5$ von $2.5$ .

$\frac{\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x}) + 0}{h}$

Schritt 4.5

Addiere $\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x})$ und $0$ .

$\frac{\ln (\frac{3 x + 3 h}{3 x})}{h}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 x + 3 h$ und $3$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{\ln (\frac{3 (x) + 3 h}{3 x})}{h}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $3$ aus $3 h$ heraus.

$\frac{\ln (\frac{3 (x) + 3 h}{3 x})}{h}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 h$ heraus.

$\frac{\ln (\frac{3 (x + h)}{3 x})}{h}$

Schritt 4.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{\ln (\frac{3 (x + h)}{3 (x)})}{h}$

Schritt 4.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (\frac{3 (x + h)}{3 x})}{h}$

Schritt 4.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (\frac{x + h}{x})}{h}$

Schritt 5