Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- x}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- (x + h)}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 2 {(\frac{5}{2})}^{- x - h}$

Schritt 2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f (x + h) = 2 (\frac{5^{- x - h}}{2^{- x - h}})$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ .

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

Schritt 2.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

$f (x) = \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$

$f (x + h) = \frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$

$f (x) = \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} - (\frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Um $\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2^{- x}}{2^{- x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} \cdot \frac{2^{- x}}{2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}}{h}$

Schritt 4.2

Um $- \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}} \cdot \frac{2^{- x}}{2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2^{- x - h} \cdot 2^{- x}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 \cdot 5^{- x - h}}{2^{- x - h}}$ mit $\frac{2^{- x}}{2^{- x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- x - h} \cdot 2^{- x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $2^{- x - h}$ mit $2^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- x - h - x}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}} \cdot \frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}}{h}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{2 \cdot 5^{- x}}{2^{- x}}$ mit $\frac{2^{- h - x}}{2^{- h - x}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- x} \cdot 2^{- h - x}}}{h}$

Schritt 4.3.4

Multipliziere $2^{- x}$ mit $2^{- h - x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- x - h - x}}}{h}$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}}{2^{- 2 x - h}} - \frac{2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}$ heraus.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 5^{- x - h} \cdot 2^{- x}$ heraus.

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) - 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Schritt 4.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 5^{- x} \cdot 2^{- h - x}$ heraus.

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) + 2 (- 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Schritt 4.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x}) + 2 (- 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})$ heraus.

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})}{2^{- 2 x - h}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1.1

Faktorisiere $2^{- 2 x - h}$ aus $2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x})$ heraus.

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h}}}{h}$

Schritt 4.5.2.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h} \cdot 1}}{h}$

Schritt 4.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2^{- 2 x - h} (2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)}))}{2^{- 2 x - h} \cdot 1}}{h}$

Schritt 4.5.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{1}}{h}$

Schritt 4.5.2.2

Dividiere $2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})$ durch $1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x - h)} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Schritt 4.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x - (- 2 x) - - h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Schritt 4.6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x - - h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Schritt 4.6.1.3

Multipliziere $- - h$ .

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Schritt 4.6.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x + 1 h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Schritt 4.6.1.3.2

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{- x + 2 x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Schritt 4.6.2

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x - h)})}{h}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x - (- 2 x) - - h})}{h}$

Schritt 4.6.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x - - h})}{h}$

Schritt 4.6.3.3

Multipliziere $- - h$ .

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Schritt 4.6.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x + 1 h})}{h}$

Schritt 4.6.3.3.2

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- h - x + 2 x + h})}{h}$

Schritt 4.6.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- h - x + 2 x + h$ .

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Schritt 4.6.4.1

Addiere $- h$ und $h$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- x + 2 x + 0})}{h}$

Schritt 4.6.4.2

Addiere $- x + 2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{- x + 2 x})}{h}$

Schritt 4.6.5

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$\frac{2 (5^{- x - h} \cdot 2^{x + h} - 5^{- x} \cdot 2^{x})}{h}$

Schritt 5