Elementarmathematik Beispiele

$g (t) = 2 \cos^{2} (t)$ ; $[0, \frac{π}{6}]$

Schritt 1

Schreibe $g (t) = 2 \cos^{2} (t)$ als Gleichung.

$y = 2 \cos^{2} (t)$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $t$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (\frac{π}{6}) - f (0)}{(\frac{π}{6}) - (0)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = 2 \cos^{2} (t)$ für $f (\frac{π}{6})$ und $f (0)$ ein, wobei $t$ durch den entsprechenden $t$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) - (2 \cos^{2} (0))}{(\frac{π}{6}) - (0)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $6$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0)}{\frac{π}{6} - (0)}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0)}{\frac{π}{6} - (0)}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 (\frac{π}{6} - (0))}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 \frac{π}{6} + 6 (- (0))}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 \frac{π}{6} + 6 (- (0))}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{6}) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{12 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\frac{12 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{12 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{12 \frac{3}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{12 (\frac{3}{4}) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 (3) \frac{3}{4} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 3 \frac{3}{4} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{9 + 6 (- 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.9

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{9 + 6 (- 2 \cdot 1^{2})}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{9 + 6 (- 2 \cdot 1)}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.11

Multipliziere $6 (- 2 \cdot 1)$ .

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Schritt 3.4.11.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{9 + 6 \cdot - 2}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.11.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{9 - 12}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.4.12

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$\frac{- 3}{π + 6 (- (0))}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1

Multipliziere $6 (- (0))$ .

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Schritt 3.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- 3}{π + 6 \cdot 0}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{- 3}{π + 0}$

Schritt 3.5.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{- 3}{π}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{π}$