Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \tan (3 x)$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \tan (3 (x + h))$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \tan (3 x + 3 h)$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\tan (3 x + 3 h)$ .

$\tan (3 x + 3 h)$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \tan (3 x + 3 h)$

$f (x) = \tan (3 x)$

$f (x + h) = \tan (3 x + 3 h)$

$f (x) = \tan (3 x)$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\tan (3 x + 3 h) - (\tan (3 x))}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Schritt 4.1.1

Benutze die Summenformel für den Tangens, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{(\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}) - (\tan (3 x))}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Um $- \tan (3 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)} - \tan (3 x) \cdot \frac{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.2.1

Kombiniere $- \tan (3 x)$ und $\frac{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)} + \frac{- \tan (3 x) (1 - \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) (1 - \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) \cdot 1 - \tan (3 x) (- \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) - \tan (3 x) (- \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.3

Multipliziere $- \tan (3 x) (- \tan (3 x) \tan (3 h))$ .

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Schritt 4.1.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + 1 \tan (3 x) (\tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.3.2

Mutltipliziere $\tan (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan (3 x) (\tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.3.3

Potenziere $\tan (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan (3 x) \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.3.4

Potenziere $\tan (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan (3 x) \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + {\tan (3 x)}^{1 + 1} \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.4

Subtrahiere $\tan (3 x)$ von $\tan (3 x)$ .

$\frac{\frac{0 + \tan (3 h) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.5

Addiere $0$ und $\tan (3 h)$ .

$\frac{\frac{\tan (3 h) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.6

Faktorisiere $\tan (3 h)$ aus $\tan (3 h) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)$ heraus.

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Schritt 4.1.2.3.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 h) \cdot 1 + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.6.2

Faktorisiere $\tan (3 h)$ aus $\tan^{2} (3 x) \tan (3 h)$ heraus.

$\frac{\frac{\tan (3 h) \cdot 1 + \tan (3 h) \tan^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.6.3

Faktorisiere $\tan (3 h)$ aus $\tan (3 h) \cdot 1 + \tan (3 h) \tan^{2} (3 x)$ heraus.

$\frac{\frac{\tan (3 h) (1 + \tan^{2} (3 x))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.7

Ordne Terme um.

$\frac{\frac{\tan (3 h) (\tan^{2} (3 x) + 1)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.1.2.3.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}$ mit $\frac{1}{h}$ .

$\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{(1 - \tan (3 x) \tan (3 h)) h}$

Schritt 4.2.3

Stelle die Faktoren in $\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{(1 - \tan (3 x) \tan (3 h)) h}$ um.

$\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{h (1 - \tan (3 x) \tan (3 h))}$

Schritt 5