Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = - x^{2} + 24 x - 109$ , $s i \cdot 8 \leq x \leq 14$ ?

Schritt 1

Schreibe $g (x) = - x^{2} + 24 x - 109$ als Gleichung.

$y = - x^{2} + 24 x - 109$

Schritt 2

Substituiere unter Verwendung der Formel für die durchschnittliche Änderungsrate.

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Schritt 2.1

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion kann ermittelt werden durch Berechnen des Quotienten aus der Änderung der $y$ -Werte der beiden Punkte und der Änderung der $x$ -Werte der beiden Punkte.

$\frac{f (14) - f (8 s i)}{(14) - (8 s i)}$

Schritt 2.2

Setze die Gleichung $y = - x^{2} + 24 x - 109$ für $f (14)$ und $f (8 s i)$ ein, wobei $x$ durch den entsprechenden $x$ -Wert ersetzt wird.

$\frac{(- {(14)}^{2} + 24 (14) - 109) - (- {(8 s i)}^{2} + 24 (8 s i) - 109)}{(14) - (8 s i)}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 196 + 24 (14) - 109 - (- {(8 s i)}^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $196$ .

$\frac{- 196 + 24 (14) - 109 - (- {(8 s i)}^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $14$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- {(8 s i)}^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.4.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.4.1.1

Wende die Produktregel auf $8 s i$ an.

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- ({(8 s)}^{2} i^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.4.1.2

Wende die Produktregel auf $8 s$ an.

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (8^{2} s^{2} i^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (64 s^{2} i^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.4.3

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (64 s^{2} \cdot - 1) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (- (- 64 s^{2}) + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.4.5

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 1$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (64 s^{2} + 24 \cdot 8 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.4.6

Mutltipliziere $24$ mit $8$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (64 s^{2} + 192 s i - 109)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 196 + 336 - 109 - (64 s^{2}) - (192 s i) - - 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - 64 s^{2} - (192 s i) - - 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $192$ mit $- 1$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - 64 s^{2} - 192 (s i) - - 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 109$ .

$\frac{- 196 + 336 - 109 - 64 s^{2} - 192 (s i) + 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.7

Addiere $- 196$ und $336$ .

$\frac{140 - 109 - 64 s^{2} - 192 s i + 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.8

Subtrahiere $109$ von $140$ .

$\frac{31 - 64 s^{2} - 192 s i + 109}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.9

Addiere $31$ und $109$ .

$\frac{- 64 s^{2} - 192 s i + 140}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.10

Faktorisiere $4$ aus $- 64 s^{2} - 192 s i + 140$ heraus.

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Schritt 3.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $- 64 s^{2}$ heraus.

$\frac{4 (- 16 s^{2}) - 192 s i + 140}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.10.2

Faktorisiere $4$ aus $- 192 s i$ heraus.

$\frac{4 (- 16 s^{2}) + 4 (- 48 s i) + 140}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.10.3

Faktorisiere $4$ aus $140$ heraus.

$\frac{4 (- 16 s^{2}) + 4 (- 48 s i) + 4 (35)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.10.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 16 s^{2}) + 4 (- 48 s i)$ heraus.

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i) + 4 (35)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.1.10.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 16 s^{2} - 48 s i) + 4 (35)$ heraus.

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{14 - 1 \cdot 8 s i}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{14 - 8 s i}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $14 - 8 s i$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{2 (7) - 8 s i}$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 s i$ heraus.

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{2 (7) + 2 (- 4 s i)}$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (7) + 2 (- 4 s i)$ heraus.

$\frac{4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{2 (7 - 4 s i)}$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)$ heraus.

$\frac{2 (2 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35))}{2 (7 - 4 s i)}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35))}{2 (7 - 4 s i)}$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- 16 s^{2} - 48 s i + 35)}{7 - 4 s i}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 16 s^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- (16 s^{2}) - 48 s i + 35)}{7 - 4 s i}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 48 s i$ heraus.

$\frac{2 (- (16 s^{2}) - (48 s i) + 35)}{7 - 4 s i}$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (16 s^{2}) - (48 s i)$ heraus.

$\frac{2 (- (16 s^{2} + 48 s i) + 35)}{7 - 4 s i}$

Schritt 3.3.5

Schreibe $35$ als $- 1 (- 35)$ um.

$\frac{2 (- (16 s^{2} + 48 s i) - 1 (- 35))}{7 - 4 s i}$

Schritt 3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (16 s^{2} + 48 s i) - 1 (- 35)$ heraus.

$\frac{2 (- (16 s^{2} + 48 s i - 35))}{7 - 4 s i}$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Schreibe $- (16 s^{2} + 48 s i - 35)$ als $- 1 (16 s^{2} + 48 s i - 35)$ um.

$\frac{2 (- 1 (16 s^{2} + 48 s i - 35))}{7 - 4 s i}$

Schritt 3.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (16 s^{2} + 48 s i - 35)}{7 - 4 s i}$